Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija ir tāda, kurā $|q| < 1$ — katrs nākamais loceklis arvien mazāks.
Lai gan locekļu ir bezgalīgi daudz, to summai ir galīga vērtība, jo locekļi strauji tuvojas nullei.
Piemērs: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = 2$ — summa tuvojas 2, nekad to nepārsniedzot.
$S = \dfrac{b_1}{1 - q}$, ja $|q| < 1$
kur $b_1$ — pirmais loceklis, $q$ — kvocients.
Nosacījums kritisks: ja $|q| \geq 1$, summa NEeksistē (aug bezgalīgi vai svārstās).
Pielietojums: bezgalīgu periodisku decimāldaļu pārveidošana parastajā daļā, piem., $0{,}(3) = \frac{1}{3}$.
Uzdevums: Atrod bezgalīgi dilstošas progresijas summu: $6 + 2 + \frac{2}{3} + \ldots$
1. solis. Atrod $q$: $q = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Tā kā $|q| = \frac13 < 1$ — summa eksistē.
2. solis. Formula:
$$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{6}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{6}{\frac{2}{3}} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$$
Atbilde: $S = 9$.
Pārbaudi $|q| < 1$ VISPIRMS. Bez šī nosacījuma formula nedarbojas.
"Pirmais loceklis dalīts ar (viens mīnus kvocients)." Jo mazāks $q$, jo summa tuvāka pirmajam loceklim.
Periodiska decimāldaļa $0{,}(6) = \frac{6}{10} + \frac{6}{100} + \ldots = \frac{6/10}{1 - 1/10} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
⚠️ Formula der TIKAI ja $|q| < 1$. Pie $q = 2$ (augoša progresija) bezgalīga summa neeksistē — formula dotu nepatiesu rezultātu.
⚠️ Saucējā ir $1 - q$, ne $q - 1$. Pie $q = \frac13$: $1 - \frac13 = \frac23$.
⚠️ Nejauc ar galīgo summu $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ — tā ir $n$ pirmajiem locekļiem, ne bezgalīgai.