Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Apgrieztās trigonometriskās funkcijas atbild uz jautājumu "kurš leņķis dod šo vērtību?"
Lai funkcija būtu viennozīmīga, vērtības ierobežo ar galvenajiem intervāliem.
| Funkcija | Definīcijas apg. | Vērtību apg. |
|---|---|---|
| $\arcsin a$ | $[-1; 1]$ | $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ |
| $\arccos a$ | $[-1; 1]$ | $[0; \pi]$ |
| $\operatorname{arctg} a$ | $\mathbb{R}$ | $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ |
Pamatvērtības: $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$, $\operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4}$.
Uzdevums: Aprēķini $\arcsin\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ un $\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)$.
1. $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$: kurš leņķis no $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ dod sinusu $\frac{\sqrt3}{2}$? → $\frac{\pi}{3}$ (60°).
2. $\arccos(-\frac{1}{2})$: kurš leņķis no $[0; \pi]$ dod kosinusu $-\frac{1}{2}$? → $\frac{2\pi}{3}$ (120°).
Atbilde: $\frac{\pi}{3}$ un $\frac{2\pi}{3}$.
Ievēro: $\arccos$ no negatīva skaitļa dod leņķi II kvadrantā (starp $\frac{\pi}{2}$ un $\pi$).
"Arc = leņķis". $\arcsin a$ = "tas leņķis, kura sinuss ir $a$".
Galvenie intervāli atšķiras: $\arcsin$ un $\operatorname{arctg}$ — ap nulli ($-\frac{\pi}{2}$ līdz $\frac{\pi}{2}$); $\arccos$ — no $0$ līdz $\pi$ (augšējā puslokā).
Tāpēc $\arccos$ no negatīva skaitļa ir plats leņķis (II kvadrants), bet $\arcsin$ no negatīva — negatīvs leņķis (IV kvadr.).
⚠️ $\arcsin$ vērtība ir tikai $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$ — viena vērtība, ne visa vienādojuma sakņu sērija.
⚠️ $\arcsin(-a) = -\arcsin a$, bet $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$ (NE $-\arccos a$). Kosinusam ir cita simetrija.
⚠️ $\arcsin a$ definēts tikai $a \in [-1; 1]$. $\arcsin 2$ neeksistē.