Logaritmi — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Logaritma definīcija. $\log_{a} b = c$ nozīmē "kādā pakāpē jākāpina $a$, lai iegūtu $b$?" Citiem vārdiem: $a^c = b$.

2. Mūsu uzdevums. $\log_{5} 125$ — kādā pakāpē jākāpina $5$, lai iegūtu $125$?

3. Sistemātiskā pārveidošana. Mēģinām izteikt $125$ kā $5$ pakāpi:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
Atrasts: $5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

4. Atbilde. $\log_{5} 125 = 3$.

5. Distraktoru analīze.
• $2$ — pakāpe noklīdusi par vienu soli: $5^{2} = 25 \ne 125$.
• $1$ — pārbaudi: $5^{1} = 5$, bet vajag $125$.
• $4$ — pakāpe noklīdusi par vienu soli: $5^{4} = 625 \ne 125$.

6. Pārbaude. $5^{3} = 125$ ✓ — tieši tā, ko mēs sākotnēji uzdevām atrast.

Atrisinājums:
1. Logaritma definīcija. $\log_a b = c$ nozīmē "kādā pakāpē jākāpina $a$, lai iegūtu $b$?" Tas ir tas pats kā $a^c = b$.

2. Mūsu uzdevums. $\log_{10} 1000000$ — kādā pakāpē jākāpina $10$, lai iegūtu $1000000$?

3. Sistemātiskā meklēšana.
$10^{1} = 10$
$10^{2} = 100$
$10^{3} = 1000$
$10^{4} = 10000$
$10^{5} = 100000$
$10^{6} = 1000000$
Atrasts: $10^{6} = 1000000$.

4. Atbilde. $\log_{10} 1000000 = 6$.

5. Tipisku kļūdaino atbilžu analīze.
• $1000000$ — skolēns ievada pašu skaitli (argumentu), aizmirstot, ka logaritma rezultāts ir PAKĀPE, ne pats arguments.
• $10$ — ievadīta logaritma BĀZE, jaucot lomas: bāze ir tas, ko kāpina, bet logaritma vērtība ir pakāpes rādītājs.
• $5$ vai $7$ — "off-by-one" kļūda, skaitot pakāpes ($10^1, 10^2, \ldots$) — pārskaitījies vai aizmirsis pirmo soli.
• $12$ — sajauc ar $\log_a b^2 = 2 \log_a b$ vai dubulto rezultātu bez iemesla.

6. Pārbaude. $10^{6} = 1000000$ ✓

Atrisinājums:
1. Logaritmu summas īpašība. $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$.
Vārdiem: divu logaritmu summa (ar vienādu bāzi) ir vienāda ar to argumentu reizinājuma logaritmu.

2. Kāpēc tā? No definīcijas: ja $\log_a x = m$ un $\log_a y = n$, tad $x = a^m$ un $y = a^n$. Tāpēc $xy = a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, no kā $\log_a(xy) = m + n = \log_a x + \log_a y$.

3. Divi ceļi šī uzdevuma risināšanai.
Veids A — katra logaritma atsevišķi:
$\log_{5} 5 = 1$ (jo $5^{1} = 5$)
$\log_{5} 125 = 3$ (jo $5^{3} = 125$)
Summa: $1 + 3 = 4$.

Veids B — caur īpašību:
$\log_{5} 5 + \log_{5} 125 = \log_{5}(5 \cdot 125) = \log_{5} 625 = 4$.

4. Tipisku kļūdaino atbilžu analīze.
• $3$ — skolēns REIZINĀJIS pakāpes, nevis saskaitījis. Jaucas $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$ (argumenti reizinās, bet IEGŪTĀS pakāpes summējas) ar pakāpju īpašību.
• $130$ — saskaitīti argumenti, ne logaritmi. Atbilde uz "$\log_a(x + y)$" tipa uzdevumu, kas vispār nav vienkāršojams ar šo īpašību.
• $625$ — skolēns apstājies pie $\log_a(xy)$ argumenta un ievadījis to, neaprēķinot pašu logaritmu.
• $5$ vai $3$ — pareizs paņēmiens, bet "off-by-one" kļūda kādā no pakāpēm.

5. Kad lietot katru veidu? Ja katrs logaritms atsevišķi ir vienkāršs — veids A. Ja reizinājums ir vienkāršāka pakāpe — veids B.

Atrisinājums:
1. Logaritmu starpības īpašība. $\log_a x - \log_a y = \log_a\dfrac{x}{y}$.
Divu logaritmu starpība (ar vienādu bāzi) ir vienāda ar to argumentu DAĻAS logaritmu.

2. Kāpēc tā? No pakāpju īpašības $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, tāpēc $\log_a\dfrac{x}{y} = m - n = \log_a x - \log_a y$.

3. Mūsu uzdevums.
$\log_{5} 15625 = 6$ (jo $5^{6} = 15625$)
$\log_{5} 3125 = 5$ (jo $5^{5} = 3125$)
Starpība: $6 - 5 = 1$.

4. Veids B — caur īpašību.
$\log_{5} 15625 - \log_{5} 3125 = \log_{5}\dfrac{15625}{3125} = \log_{5} 5 = 1$.

5. Tipisku kļūdaino atbilžu analīze.
• $-1$ — atņemts otrādi (apgriezta zīme). Skolēns aizmirsis, ka starpībā svarīga secība: pirmais MĪNUS otrais.
• $1{,}2$ — skolēns DALĪJIS pakāpes (sajauc ar $\log(x/y)$ un domā, ka logaritmus dala). Pareizi: argumenti dalās, bet IEGŪTĀS pakāpes ATŅEMAS.
• $5$ — skolēns apstājies pie daļas $\dfrac{15625}{3125} = 5$ un ievadījis to, neaprēķinot logaritmu līdz galam.
• $12500$ — atņemti argumenti, ne logaritmi. Šī īpašība attiecas uz LOGARITMU starpību, ne argumentu starpību.

6. Bieža kļūda. NEKAD nedali logaritmus: $\dfrac{\log_a x}{\log_a y} \ne \log_a\dfrac{x}{y}$.

Atrisinājums:
1. Logaritma pakāpes īpašība. $\log_a x^k = k \cdot \log_a x$.
Argumenta pakāpi var "iznest" pirms logaritma kā reizinātāju.

2. Kāpēc tā? $x^k = \underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{k\text{ reizes}}$, tāpēc $\log_a x^k = \log_a(x \cdot x \cdot \ldots) = \underbrace{\log_a x + \ldots + \log_a x}_{k\text{ reizes}} = k \log_a x$.

3. Mūsu uzdevums. $\log_{5} 25^{2}$.
Vispirms: $\log_{5} 25 = 2$ (jo $5^{2} = 25$).
Tāpēc: $\log_{5} 25^{2} = 2 \cdot 2 = 4$.

4. Alternatīvi. $25^{2} = (5^{2})^{2} = 5^{4}$. Tad $\log_{5} 5^{4} = 4$.

5. Tipisku kļūdaino atbilžu analīze.
• $4$ — skolēns SASKAITĪJIS, nevis sareizinājis. Sajaucas ar $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$ summas īpašību. Pakāpes likumā reizinātājs IZNĀK kā reizinātājs ($k \cdot \log_a x$).
• $2$ — skolēns aprēķinājis tikai $\log_{5} 25 = 2$, aizmirstot reizināt ar pakāpes rādītāju $2$.
• $2$ — skolēns paņēmis tikai pakāpes rādītāju, aizmirstot reizināt ar $\log_{5} 25$.
• $4$ — skolēns kāpinājis logaritmu ($\log_a x$) pakāpē, jaucot ar $(\log_a x)^k$, kas matemātiski ir pavisam cita lieta.

6. Bieža kļūda. Šī īpašība attiecas uz argumenta pakāpi, ne pakāpi PAR LOGARITMU. $\log_a x^k \ne (\log_a x)^k$.

Atrisinājums:
1. Logaritmiska vienādojuma definīcija. $\log_a x = k$ ir ekvivalents formulai $x = a^k$ — tas ir tieši logaritma definīcijas pārformulējums.

2. Risinājuma stratēģija. Pārveido vienādojumu uz eksponenciālo formu un aprēķini.

3. Pielieto definīciju. $\log_{10} x = 2$ → $x = 10^{2}$.

4. Aprēķini. $10^{2} = 100$.

5. Pārbaude. Ievietojam $x = 100$ atpakaļ: $\log_{10} 100 = ?$
Jautājums: kādā pakāpē kāpināt $10$, lai iegūtu $100$? Atbilde: $2$. ✓

6. Tipisku kļūdaino atbilžu analīze.
• $20$ — skolēns REIZINĀJIS bāzi ar pakāpi ($a \cdot k$), nevis kāpinājis. Tipiska sākuma kļūda — sajaucas reizināšana ar kāpināšanu.
• $2$ — skolēns ievada pašu $k$, jaucot lomas: $k$ ir pakāpes rādītājs, bet vajadzēja aprēķināt $a^k$.
• $10$ — ievadīta bāze, neaprēķinot kāpināšanu vispār.
• $1024$ — apgrieztas bāzes un pakāpes lomas: kāpināts $k^a$, nevis $a^k$.

7. Pārbaudi definīcijas apgabalu. Logaritma argumentam $x$ ir jābūt POZITĪVAM ($x > 0$). Mūsu atbilde $x = 100 > 0$ ✓

Atrisinājums:
1. Pārveido sakni. $\sqrt{27} = 27^{1/2}$.

2. Pārveido bāzē 3. $27 = 3^3$, tāpēc $\sqrt{27} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}$.

3. Aprēķini. $\log_3 3^{3/2} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$.

4. Tipisku kļūdaino atbilžu analīze.
• $3$ — aprēķināts $\log_3 27$, ignorējot sakni. Sakne samazina pakāpes rādītāju uz pusi.
• $0{,}5$ — paņemts tikai saknes pakāpes rādītājs, ignorējot, ka $27 = 3^3$.
• $\sqrt{27} \approx 5{,}2$ — skolēns ievadījis pašu argumentu (saknes vērtību), ne logaritmu.

Atrisinājums:
1. Logaritma definīcija. $\log_{a} b = c$ nozīmē "kādā pakāpē jākāpina $a$, lai iegūtu $b$?" Citiem vārdiem: $a^c = b$.

2. Mūsu uzdevums. $\log_{2} 4$ — kādā pakāpē jākāpina $2$, lai iegūtu $4$?

3. Sistemātiskā pārveidošana. Mēģinām izteikt $4$ kā $2$ pakāpi:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
Atrasts: $2^{2} = 2 \cdot 2 = 4$.

4. Atbilde. $\log_{2} 4 = 2$.

5. Distraktoru analīze.
• $1$ — pakāpe noklīdusi par vienu soli: $2^{1} = 2 \ne 4$.
• $5$ — pārbaudi: $2^{5} = 32$, bet vajag $4$.
• $4$ — pakāpe reizināta ar $2$; jaukts $\log_a b$ ar $\log_a b^2$. $2^{4} = 16$.

6. Pārbaude. $2^{2} = 4$ ✓ — tieši tā, ko mēs sākotnēji uzdevām atrast.

Atrisinājums:
1. Logaritmu summas īpašība. $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$.
Vārdiem: divu logaritmu summa (ar vienādu bāzi) ir vienāda ar to argumentu reizinājuma logaritmu.

2. Kāpēc tā? No definīcijas: ja $\log_a x = m$ un $\log_a y = n$, tad $x = a^m$ un $y = a^n$. Tāpēc $xy = a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, no kā $\log_a(xy) = m + n = \log_a x + \log_a y$.

3. Divi ceļi šī uzdevuma risināšanai.
Veids A — katra logaritma atsevišķi:
$\log_{10} 1000 = 3$ (jo $10^{3} = 1000$)
$\log_{10} 100 = 2$ (jo $10^{2} = 100$)
Summa: $3 + 2 = 5$.

Veids B — caur īpašību:
$\log_{10} 1000 + \log_{10} 100 = \log_{10}(1000 \cdot 100) = \log_{10} 100000 = 5$.

4. Tipisku kļūdaino atbilžu analīze.
• $6$ — skolēns REIZINĀJIS pakāpes, nevis saskaitījis. Jaucas $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$ (argumenti reizinās, bet IEGŪTĀS pakāpes summējas) ar pakāpju īpašību.
• $1100$ — saskaitīti argumenti, ne logaritmi. Atbilde uz "$\log_a(x + y)$" tipa uzdevumu, kas vispār nav vienkāršojams ar šo īpašību.
• $100000$ — skolēns apstājies pie $\log_a(xy)$ argumenta un ievadījis to, neaprēķinot pašu logaritmu.
• $6$ vai $4$ — pareizs paņēmiens, bet "off-by-one" kļūda kādā no pakāpēm.

5. Kad lietot katru veidu? Ja katrs logaritms atsevišķi ir vienkāršs — veids A. Ja reizinājums ir vienkāršāka pakāpe — veids B.

Atrisinājums:
1. Logaritmu starpības īpašība. $\log_a x - \log_a y = \log_a\dfrac{x}{y}$.
Divu logaritmu starpība (ar vienādu bāzi) ir vienāda ar to argumentu DAĻAS logaritmu.

2. Kāpēc tā? No pakāpju īpašības $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, tāpēc $\log_a\dfrac{x}{y} = m - n = \log_a x - \log_a y$.

3. Mūsu uzdevums.
$\log_{5} 625 = 4$ (jo $5^{4} = 625$)
$\log_{5} 25 = 2$ (jo $5^{2} = 25$)
Starpība: $4 - 2 = 2$.

4. Veids B — caur īpašību.
$\log_{5} 625 - \log_{5} 25 = \log_{5}\dfrac{625}{25} = \log_{5} 25 = 2$.

5. Tipisku kļūdaino atbilžu analīze.
• $-2$ — atņemts otrādi (apgriezta zīme). Skolēns aizmirsis, ka starpībā svarīga secība: pirmais MĪNUS otrais.
• $2$ — skolēns DALĪJIS pakāpes (sajauc ar $\log(x/y)$ un domā, ka logaritmus dala). Pareizi: argumenti dalās, bet IEGŪTĀS pakāpes ATŅEMAS.
• $25$ — skolēns apstājies pie daļas $\dfrac{625}{25} = 25$ un ievadījis to, neaprēķinot logaritmu līdz galam.
• $600$ — atņemti argumenti, ne logaritmi. Šī īpašība attiecas uz LOGARITMU starpību, ne argumentu starpību.

6. Bieža kļūda. NEKAD nedali logaritmus: $\dfrac{\log_a x}{\log_a y} \ne \log_a\dfrac{x}{y}$.