11. klaseAlgebra un funkcijas

Ģeometriskā progresija — uzdevumi ar atrisinājumiem

Q: Ģeometriskā progresija: b_1 = 3, q = 2. Atrast b_{6}.

96. 1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti q (kvocientu). b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots 2. N-tā locekļa formula. b_n = b_1 \cdot q^{n-1}. Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz n-tajam loceklim, vajag (n-1) reizes reizināt ar q. 3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita d. Ģeometriskā — reizina ar q. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri. 4. Atzīmē, kas dots. b_1 = 3, q = 2, n = 6. 5. Aprēķini. b

Q: Ģeometriskā progresija: b_1 = 3, q = 2. Aprēķini summu S_{3}.

21. 1. Galīgas ģeometriskās progresijas summa. S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} (kad q \ne 1). 2. Kāpēc tā? S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n-1}. Reizinot ar q un atvelcot: qS_n - S_n = b_1 q^n - b_1 = b_1(q^n - 1), no kā S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1). 3. Atzīmē, kas dots. b_1 = 3, q = 2, n = 3. 4. Aprēķini soli pa solim. q^n = 2^{3} = 8 q^n - 1 = 7 b_1(q^n - 1) = 3 \cdot 7 = 21 q - 1 = 1 S_3 = \dfrac{21}{1} = 21. 5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas: • 24 — paņemts tikai b_1 q^n, tas

Q: Ģeometriskā progresija: b_1 = 5, q = -2. Atrast b_{6}.

-160. 1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti q (kvocientu). b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots 2. N-tā locekļa formula. b_n = b_1 \cdot q^{n-1}. Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz n-tajam loceklim, vajag (n-1) reizes reizināt ar q. 3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita d. Ģeometriskā — reizina ar q. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri. 4. Atzīmē, kas dots. b_1 = 5, q = -2, n = 6. 5. Aprēķini.

Q: Ģeometriskā progresija: b_1 = 1, q = 2. Aprēķini summu S_{5}.

31. 1. Galīgas ģeometriskās progresijas summa. S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} (kad q \ne 1). 2. Kāpēc tā? S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n-1}. Reizinot ar q un atvelcot: qS_n - S_n = b_1 q^n - b_1 = b_1(q^n - 1), no kā S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1). 3. Atzīmē, kas dots. b_1 = 1, q = 2, n = 5. 4. Aprēķini soli pa solim. q^n = 2^{5} = 32 q^n - 1 = 31 b_1(q^n - 1) = 1 \cdot 31 = 31 q - 1 = 1 S_5 = \dfrac{31}{1} = 31. 5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas: • 16 — atbildēts n-tais locekli

10 uzdevumi ar pilniem soli-pa-solim atrisinājumiem. Aplikācijā pieejami neierobežoti jauni uzdevumi ar automātisku pārbaudi.

Vispirms teorija? Izlasi Ģeometriskā progresija — teorija, formulas un piemēri →

1. uzdevums

Ģeometriskā progresija: $b_1 = 3$, $q = 2$. Atrast $b_{6}$.

A) $1458$
B) $96$
C) $13$
D) $192$

Pareizā atbilde: B) $96$

Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 3$, $q = 2$, $n = 6$.

5. Aprēķini.
$b_{6} = 3 \cdot 2^{5}$
$2^{5} = 32$
$b_{6} = 3 \cdot 32 = 96$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $192$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $13$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $1458$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 3$, $b_2 = 6$, $b_3 = 12$, $b_4 = 24$, $b_5 = 48$, $b_6 = 96$. ✓

2. uzdevums

Ģeometriskā progresija: $b_1 = 3$, $q = 2$. Aprēķini summu $S_{3}$.

A) $22$
B) $24$
C) $42$
D) $21$

Pareizā atbilde: D) $21$

Atrisinājums:
1. Galīgas ģeometriskās progresijas summa.
$S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (kad $q \ne 1$).

2. Kāpēc tā? $S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n-1}$. Reizinot ar $q$ un atvelcot: $qS_n - S_n = b_1 q^n - b_1 = b_1(q^n - 1)$, no kā $S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$.

3. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 3$, $q = 2$, $n = 3$.

4. Aprēķini soli pa solim.
$q^n = 2^{3} = 8$
$q^n - 1 = 7$
$b_1(q^n - 1) = 3 \cdot 7 = 21$
$q - 1 = 1$
$S_3 = \dfrac{21}{1} = 21$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $24$ — paņemts tikai $b_1 q^n$, tas ir viens loceklis, ne summa.
• $42$ — aprēķina kļūda; $S_{3} = 21$.
• $22$ — aprēķina kļūda; $S_{3} = 21$.
6. Pārbaude (uzskaitot virkni). $3 + 6 + 12 = 21$ ✓

7. Speciālgadījums. Ja $q = 1$, formula nestrādā (saucējs = 0). Tādā gadījumā visi locekļi vienādi un $S_n = n \cdot b_1$.

3. uzdevums

Ģeometriskā progresija: $b_1 = 5$, $q = -2$. Atrast $b_{6}$.

A) $-31250$
B) $-160$
C) $-5$
D) $320$

Pareizā atbilde: B) $-160$

Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 5$, $q = -2$, $n = 6$.

5. Aprēķini.
$b_{6} = 5 \cdot -2^{5}$
$-2^{5} = -32$
$b_{6} = 5 \cdot -32 = -160$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $320$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $-5$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $-31250$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 5$, $b_2 = -10$, $b_3 = 20$, $b_4 = -40$, $b_5 = 80$, $b_6 = -160$. ✓

4. uzdevums

Ģeometriskā progresija: $b_1 = 1$, $q = 2$. Aprēķini summu $S_{5}$.

A) $16{,}5$
B) $16$
C) $1$
D) $31$

Pareizā atbilde: D) $31$

Atrisinājums:
1. Galīgas ģeometriskās progresijas summa.
$S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (kad $q \ne 1$).

2. Kāpēc tā? $S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n-1}$. Reizinot ar $q$ un atvelcot: $qS_n - S_n = b_1 q^n - b_1 = b_1(q^n - 1)$, no kā $S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$.

3. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 1$, $q = 2$, $n = 5$.

4. Aprēķini soli pa solim.
$q^n = 2^{5} = 32$
$q^n - 1 = 31$
$b_1(q^n - 1) = 1 \cdot 31 = 31$
$q - 1 = 1$
$S_5 = \dfrac{31}{1} = 31$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $16$ — atbildēts $n$-tais loceklis, ne summa.
• $16{,}5$ — vidējots pirmais un pēdējais loceklis; tas der aritmētiskajai, ne ģeometriskajai progresijai.
• $1$ — aprēķina kļūda; $S_{5} = 31$.
6. Pārbaude (uzskaitot virkni). $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$ ✓

7. Speciālgadījums. Ja $q = 1$, formula nestrādā (saucējs = 0). Tādā gadījumā visi locekļi vienādi un $S_n = n \cdot b_1$.

5. uzdevums

Ģeometriskā progresija: $b_1 = 2$, $q = -2$. Atrast $b_{4}$.

A) $-16$
B) $-4$
C) $32$
D) $-32$

Pareizā atbilde: A) $-16$

Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 2$, $q = -2$, $n = 4$.

5. Aprēķini.
$b_{4} = 2 \cdot -2^{3}$
$-2^{3} = -8$
$b_{4} = 2 \cdot -8 = -16$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $32$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $-4$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $-32$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 2$, $b_2 = -4$, $b_3 = 8$, $b_4 = -16$. ✓

6. uzdevums

Ģeometriskā progresija: $b_1 = 2$, $q = 3$. Aprēķini summu $S_{3}$.

A) $18$
B) $2$
C) $26$
D) $14{,}5$

Pareizā atbilde: C) $26$

Atrisinājums:
1. Galīgas ģeometriskās progresijas summa.
$S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (kad $q \ne 1$).

2. Kāpēc tā? $S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n-1}$. Reizinot ar $q$ un atvelcot: $qS_n - S_n = b_1 q^n - b_1 = b_1(q^n - 1)$, no kā $S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$.

3. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 2$, $q = 3$, $n = 3$.

4. Aprēķini soli pa solim.
$q^n = 3^{3} = 27$
$q^n - 1 = 26$
$b_1(q^n - 1) = 2 \cdot 26 = 52$
$q - 1 = 2$
$S_3 = \dfrac{52}{2} = 26$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $14{,}5$ — vidējots pirmais un pēdējais loceklis; tas der aritmētiskajai, ne ģeometriskajai progresijai.
• $2$ — aprēķina kļūda; $S_{3} = 26$.
• $18$ — lietota aritmētiskās progresijas doma ($n \cdot b_1 \cdot q$); ģeometriskajai vajag $\frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
6. Pārbaude (uzskaitot virkni). $2 + 6 + 18 = 26$ ✓

7. Speciālgadījums. Ja $q = 1$, formula nestrādā (saucējs = 0). Tādā gadījumā visi locekļi vienādi un $S_n = n \cdot b_1$.

7. uzdevums

Ģeometriskā progresija: $b_1 = 1$, $q = 3$. Atrast $b_{4}$.

A) $27$
B) $81$
C) $10$
D) $3$

Pareizā atbilde: A) $27$

Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 1$, $q = 3$, $n = 4$.

5. Aprēķini.
$b_{4} = 1 \cdot 3^{3}$
$3^{3} = 27$
$b_{4} = 1 \cdot 27 = 27$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $81$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $10$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $3$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 1$, $b_2 = 3$, $b_3 = 9$, $b_4 = 27$. ✓

8. uzdevums

Ģeometriskā progresija: $b_1 = 2$, $q = 2$. Aprēķini summu $S_{4}$.

A) $15$
B) $2$
C) $30$
D) $16$

Pareizā atbilde: C) $30$

Atrisinājums:
1. Galīgas ģeometriskās progresijas summa.
$S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (kad $q \ne 1$).

2. Kāpēc tā? $S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n-1}$. Reizinot ar $q$ un atvelcot: $qS_n - S_n = b_1 q^n - b_1 = b_1(q^n - 1)$, no kā $S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$.

3. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 2$, $q = 2$, $n = 4$.

4. Aprēķini soli pa solim.
$q^n = 2^{4} = 16$
$q^n - 1 = 15$
$b_1(q^n - 1) = 2 \cdot 15 = 30$
$q - 1 = 1$
$S_4 = \dfrac{30}{1} = 30$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $2$ — aprēķina kļūda; $S_{4} = 30$.
• $16$ — lietota aritmētiskās progresijas doma ($n \cdot b_1 \cdot q$); ģeometriskajai vajag $\frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
• $15$ — aprēķina kļūda; $S_{4} = 30$.
6. Pārbaude (uzskaitot virkni). $2 + 4 + 8 + 16 = 30$ ✓

7. Speciālgadījums. Ja $q = 1$, formula nestrādā (saucējs = 0). Tādā gadījumā visi locekļi vienādi un $S_n = n \cdot b_1$.

9. uzdevums

Ģeometriskā progresija: $b_1 = 5$, $q = -2$. Atrast $b_{5}$.

A) $80$
B) $-160$
C) $-3$
D) $-6250$

Pareizā atbilde: A) $80$

Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 5$, $q = -2$, $n = 5$.

5. Aprēķini.
$b_{5} = 5 \cdot -2^{4}$
$-2^{4} = 16$
$b_{5} = 5 \cdot 16 = 80$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $-160$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $-3$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $-6250$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 5$, $b_2 = -10$, $b_3 = 20$, $b_4 = -40$, $b_5 = 80$. ✓

10. uzdevums

Ģeometriskā progresija: $b_1 = 1$, $q = 2$. Aprēķini summu $S_{3}$.

A) $14$
B) $1$
C) $6$
D) $7$

Pareizā atbilde: D) $7$

Atrisinājums:
1. Galīgas ģeometriskās progresijas summa.
$S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (kad $q \ne 1$).

2. Kāpēc tā? $S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n-1}$. Reizinot ar $q$ un atvelcot: $qS_n - S_n = b_1 q^n - b_1 = b_1(q^n - 1)$, no kā $S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$.

3. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 1$, $q = 2$, $n = 3$.

4. Aprēķini soli pa solim.
$q^n = 2^{3} = 8$
$q^n - 1 = 7$
$b_1(q^n - 1) = 1 \cdot 7 = 7$
$q - 1 = 1$
$S_3 = \dfrac{7}{1} = 7$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $1$ — aprēķina kļūda; $S_{3} = 7$.
• $6$ — lietota aritmētiskās progresijas doma ($n \cdot b_1 \cdot q$); ģeometriskajai vajag $\frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
• $14$ — aprēķina kļūda; $S_{3} = 7$.
6. Pārbaude (uzskaitot virkni). $1 + 2 + 4 = 7$ ✓

7. Speciālgadījums. Ja $q = 1$, formula nestrādā (saucējs = 0). Tādā gadījumā visi locekļi vienādi un $S_n = n \cdot b_1$.

▶ Trenēties ar neierobežotiem uzdevumiem — atvērt MatemPro

11. klases citi uzdevumi

Eksponenciāli vienādojumi uzdevumi →Logaritmi uzdevumi →Aritmētiskā progresija uzdevumi →Saliktās funkcijas $f(g(x))$ uzdevumi →Cilindrs uzdevumi →Sfēra un lode uzdevumi →Stereometrijas pamatlikumi uzdevumi →Pamatvērtības (sin, cos, tan) uzdevumi →