11. klaseAlgebra un funkcijas

Eksponenciāli vienādojumi — uzdevumi ar atrisinājumiem

10 uzdevumi ar pilniem soli-pa-solim atrisinājumiem. Aplikācijā pieejami neierobežoti jauni uzdevumi ar automātisku pārbaudi.

Vispirms teorija? Izlasi Eksponenciāli vienādojumi — teorija, formulas un piemēri →
1. uzdevums
Atrisini vienādojumu: $5^{x - 2} = 25$
Pareizā atbilde: C) $x = 4$
Atrisinājums:
1. Pamatprincips. Ja $a^{p} = a^{q}$ (vienāda bāze abās pusēs), tad $p = q$. Mērķis ir abās pusēs panākt vienu un to pašu bāzi.

2. Pārveido labo pusi. $25$ jāizsaka kā $5$ pakāpe:
$5^1 = 5, 5^2 = 25$.
Atrasts: $25 = 5^{2}$.

3. Pārraksti vienādojumu. $5^{x - 2} = 5^{2}$.

4. Vienādo eksponentus. Tā kā bāze ir tāda pati, eksponenti ir vienādi:
$x - 2 = 2$

5. Atrisini par $x$. Pārvietojam $-2$ uz labo pusi:
$x = 2 + 2 = 4$.

6. Distraktoru analīze.
• $x = 5$ — par 1 par lielu. Bieža kļūda: pārvietojot konstanti, izmantota nepareiza zīme (saskaitīts, kad bija jāatņem, vai otrādi).
• $x = 3$ — par 1 par mazu. Tipiska "off-by-one" — pārskaitījies par vienu vai aizmirsis vienu soli pakāpju kāpināšanā.
• $x = 2$ — skolēns apstājies pēc eksponentu vienādošanas un aizmirsis atrisināt vienādojumu $x - 2 = 2$. Tas ir RHS eksponents, ne $x$.

7. Pārbaude. Ievietojam $x = 4$:
$5^{4 - 2} = 5^{2} = 25$ ✓
2. uzdevums
Atrisini vienādojumu: $2^{x - 2} = 4$
Pareizā atbilde: D) $x = 4$
Atrisinājums:
1. Pamatprincips. Ja $a^{p} = a^{q}$ (vienāda bāze abās pusēs), tad $p = q$. Mērķis ir abās pusēs panākt vienu un to pašu bāzi.

2. Pārveido labo pusi. $4$ jāizsaka kā $2$ pakāpe:
$2^1 = 2, 2^2 = 4$.
Atrasts: $4 = 2^{2}$.

3. Pārraksti vienādojumu. $2^{x - 2} = 2^{2}$.

4. Vienādo eksponentus. Tā kā bāze ir tāda pati, eksponenti ir vienādi:
$x - 2 = 2$

5. Atrisini par $x$. Pārvietojam $-2$ uz labo pusi:
$x = 2 + 2 = 4$.

6. Distraktoru analīze.
• $x = 5$ — par 1 par lielu. Bieža kļūda: pārvietojot konstanti, izmantota nepareiza zīme (saskaitīts, kad bija jāatņem, vai otrādi).
• $x = 3$ — par 1 par mazu. Tipiska "off-by-one" — pārskaitījies par vienu vai aizmirsis vienu soli pakāpju kāpināšanā.
• $x = 2$ — skolēns apstājies pēc eksponentu vienādošanas un aizmirsis atrisināt vienādojumu $x - 2 = 2$. Tas ir RHS eksponents, ne $x$.

7. Pārbaude. Ievietojam $x = 4$:
$2^{4 - 2} = 2^{2} = 4$ ✓
3. uzdevums
Atrisini vienādojumu: $5^{x - 2} = 125$
Pareizā atbilde: B) $x = 5$
Atrisinājums:
1. Pamatprincips. Ja $a^{p} = a^{q}$ (vienāda bāze abās pusēs), tad $p = q$. Mērķis ir abās pusēs panākt vienu un to pašu bāzi.

2. Pārveido labo pusi. $125$ jāizsaka kā $5$ pakāpe:
$5^1 = 5, 5^2 = 25, 5^3 = 125$.
Atrasts: $125 = 5^{3}$.

3. Pārraksti vienādojumu. $5^{x - 2} = 5^{3}$.

4. Vienādo eksponentus. Tā kā bāze ir tāda pati, eksponenti ir vienādi:
$x - 2 = 3$

5. Atrisini par $x$. Pārvietojam $-2$ uz labo pusi:
$x = 3 + 2 = 5$.

6. Distraktoru analīze.
• $x = 6$ — par 1 par lielu. Bieža kļūda: pārvietojot konstanti, izmantota nepareiza zīme (saskaitīts, kad bija jāatņem, vai otrādi).
• $x = 4$ — par 1 par mazu. Tipiska "off-by-one" — pārskaitījies par vienu vai aizmirsis vienu soli pakāpju kāpināšanā.
• $x = 3$ — skolēns apstājies pēc eksponentu vienādošanas un aizmirsis atrisināt vienādojumu $x - 2 = 3$. Tas ir RHS eksponents, ne $x$.

7. Pārbaude. Ievietojam $x = 5$:
$5^{5 - 2} = 5^{3} = 125$ ✓
4. uzdevums
Atrisini vienādojumu: $5^{x - 2} = 625$
Pareizā atbilde: B) $x = 6$
Atrisinājums:
1. Pamatprincips. Ja $a^{p} = a^{q}$ (vienāda bāze abās pusēs), tad $p = q$. Mērķis ir abās pusēs panākt vienu un to pašu bāzi.

2. Pārveido labo pusi. $625$ jāizsaka kā $5$ pakāpe:
$5^1 = 5, 5^2 = 25, 5^3 = 125, 5^4 = 625$.
Atrasts: $625 = 5^{4}$.

3. Pārraksti vienādojumu. $5^{x - 2} = 5^{4}$.

4. Vienādo eksponentus. Tā kā bāze ir tāda pati, eksponenti ir vienādi:
$x - 2 = 4$

5. Atrisini par $x$. Pārvietojam $-2$ uz labo pusi:
$x = 4 + 2 = 6$.

6. Distraktoru analīze.
• $x = 7$ — par 1 par lielu. Bieža kļūda: pārvietojot konstanti, izmantota nepareiza zīme (saskaitīts, kad bija jāatņem, vai otrādi).
• $x = 5$ — par 1 par mazu. Tipiska "off-by-one" — pārskaitījies par vienu vai aizmirsis vienu soli pakāpju kāpināšanā.
• $x = 4$ — skolēns apstājies pēc eksponentu vienādošanas un aizmirsis atrisināt vienādojumu $x - 2 = 4$. Tas ir RHS eksponents, ne $x$.

7. Pārbaude. Ievietojam $x = 6$:
$5^{6 - 2} = 5^{4} = 625$ ✓
5. uzdevums
Atrisini vienādojumu: $3^{x - 2} = 243$
Pareizā atbilde: A) $x = 7$
Atrisinājums:
1. Pamatprincips. Ja $a^{p} = a^{q}$ (vienāda bāze abās pusēs), tad $p = q$. Mērķis ir abās pusēs panākt vienu un to pašu bāzi.

2. Pārveido labo pusi. $243$ jāizsaka kā $3$ pakāpe:
$3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81, 3^5 = 243$.
Atrasts: $243 = 3^{5}$.

3. Pārraksti vienādojumu. $3^{x - 2} = 3^{5}$.

4. Vienādo eksponentus. Tā kā bāze ir tāda pati, eksponenti ir vienādi:
$x - 2 = 5$

5. Atrisini par $x$. Pārvietojam $-2$ uz labo pusi:
$x = 5 + 2 = 7$.

6. Distraktoru analīze.
• $x = 8$ — par 1 par lielu. Bieža kļūda: pārvietojot konstanti, izmantota nepareiza zīme (saskaitīts, kad bija jāatņem, vai otrādi).
• $x = 6$ — par 1 par mazu. Tipiska "off-by-one" — pārskaitījies par vienu vai aizmirsis vienu soli pakāpju kāpināšanā.
• $x = 5$ — skolēns apstājies pēc eksponentu vienādošanas un aizmirsis atrisināt vienādojumu $x - 2 = 5$. Tas ir RHS eksponents, ne $x$.

7. Pārbaude. Ievietojam $x = 7$:
$3^{7 - 2} = 3^{5} = 243$ ✓
6. uzdevums
Atrisini vienādojumu: $3^{x + 2} = 81$
Pareizā atbilde: A) $x = 2$
Atrisinājums:
1. Pamatprincips. Ja $a^{p} = a^{q}$ (vienāda bāze abās pusēs), tad $p = q$. Mērķis ir abās pusēs panākt vienu un to pašu bāzi.

2. Pārveido labo pusi. $81$ jāizsaka kā $3$ pakāpe:
$3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81$.
Atrasts: $81 = 3^{4}$.

3. Pārraksti vienādojumu. $3^{x + 2} = 3^{4}$.

4. Vienādo eksponentus. Tā kā bāze ir tāda pati, eksponenti ir vienādi:
$x + 2 = 4$

5. Atrisini par $x$. Pārvietojam $+2$ uz labo pusi:
$x = 4 - 2 = 2$.

6. Distraktoru analīze.
• $x = 3$ — par 1 par lielu. Bieža kļūda: pārvietojot konstanti, izmantota nepareiza zīme (saskaitīts, kad bija jāatņem, vai otrādi).
• $x = 1$ — par 1 par mazu. Tipiska "off-by-one" — pārskaitījies par vienu vai aizmirsis vienu soli pakāpju kāpināšanā.
• $x = 4$ — skolēns apstājies pēc eksponentu vienādošanas un aizmirsis atrisināt vienādojumu $x + 2 = 4$. Tas ir RHS eksponents, ne $x$.

7. Pārbaude. Ievietojam $x = 2$:
$3^{2 + 2} = 3^{4} = 81$ ✓
7. uzdevums
Atrisini vienādojumu: $3^{x - 2} = 81$
Pareizā atbilde: C) $x = 6$
Atrisinājums:
1. Pamatprincips. Ja $a^{p} = a^{q}$ (vienāda bāze abās pusēs), tad $p = q$. Mērķis ir abās pusēs panākt vienu un to pašu bāzi.

2. Pārveido labo pusi. $81$ jāizsaka kā $3$ pakāpe:
$3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81$.
Atrasts: $81 = 3^{4}$.

3. Pārraksti vienādojumu. $3^{x - 2} = 3^{4}$.

4. Vienādo eksponentus. Tā kā bāze ir tāda pati, eksponenti ir vienādi:
$x - 2 = 4$

5. Atrisini par $x$. Pārvietojam $-2$ uz labo pusi:
$x = 4 + 2 = 6$.

6. Distraktoru analīze.
• $x = 7$ — par 1 par lielu. Bieža kļūda: pārvietojot konstanti, izmantota nepareiza zīme (saskaitīts, kad bija jāatņem, vai otrādi).
• $x = 5$ — par 1 par mazu. Tipiska "off-by-one" — pārskaitījies par vienu vai aizmirsis vienu soli pakāpju kāpināšanā.
• $x = 4$ — skolēns apstājies pēc eksponentu vienādošanas un aizmirsis atrisināt vienādojumu $x - 2 = 4$. Tas ir RHS eksponents, ne $x$.

7. Pārbaude. Ievietojam $x = 6$:
$3^{6 - 2} = 3^{4} = 81$ ✓
8. uzdevums
Atrisini vienādojumu: $3^{x + 2} = 243$
Pareizā atbilde: D) $x = 3$
Atrisinājums:
1. Pamatprincips. Ja $a^{p} = a^{q}$ (vienāda bāze abās pusēs), tad $p = q$. Mērķis ir abās pusēs panākt vienu un to pašu bāzi.

2. Pārveido labo pusi. $243$ jāizsaka kā $3$ pakāpe:
$3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81, 3^5 = 243$.
Atrasts: $243 = 3^{5}$.

3. Pārraksti vienādojumu. $3^{x + 2} = 3^{5}$.

4. Vienādo eksponentus. Tā kā bāze ir tāda pati, eksponenti ir vienādi:
$x + 2 = 5$

5. Atrisini par $x$. Pārvietojam $+2$ uz labo pusi:
$x = 5 - 2 = 3$.

6. Distraktoru analīze.
• $x = 4$ — par 1 par lielu. Bieža kļūda: pārvietojot konstanti, izmantota nepareiza zīme (saskaitīts, kad bija jāatņem, vai otrādi).
• $x = 2$ — par 1 par mazu. Tipiska "off-by-one" — pārskaitījies par vienu vai aizmirsis vienu soli pakāpju kāpināšanā.
• $x = 5$ — skolēns apstājies pēc eksponentu vienādošanas un aizmirsis atrisināt vienādojumu $x + 2 = 5$. Tas ir RHS eksponents, ne $x$.

7. Pārbaude. Ievietojam $x = 3$:
$3^{3 + 2} = 3^{5} = 243$ ✓
9. uzdevums
Atrisini vienādojumu: $3^{x + 2} = 9$
Pareizā atbilde: A) $x = 0$
Atrisinājums:
1. Pamatprincips. Ja $a^{p} = a^{q}$ (vienāda bāze abās pusēs), tad $p = q$. Mērķis ir abās pusēs panākt vienu un to pašu bāzi.

2. Pārveido labo pusi. $9$ jāizsaka kā $3$ pakāpe:
$3^1 = 3, 3^2 = 9$.
Atrasts: $9 = 3^{2}$.

3. Pārraksti vienādojumu. $3^{x + 2} = 3^{2}$.

4. Vienādo eksponentus. Tā kā bāze ir tāda pati, eksponenti ir vienādi:
$x + 2 = 2$

5. Atrisini par $x$. Pārvietojam $+2$ uz labo pusi:
$x = 2 - 2 = 0$.

6. Distraktoru analīze.
• $x = 1$ — par 1 par lielu. Bieža kļūda: pārvietojot konstanti, izmantota nepareiza zīme (saskaitīts, kad bija jāatņem, vai otrādi).
• $x = -1$ — par 1 par mazu. Tipiska "off-by-one" — pārskaitījies par vienu vai aizmirsis vienu soli pakāpju kāpināšanā.
• $x = 2$ — skolēns apstājies pēc eksponentu vienādošanas un aizmirsis atrisināt vienādojumu $x + 2 = 2$. Tas ir RHS eksponents, ne $x$.

7. Pārbaude. Ievietojam $x = 0$:
$3^{0 + 2} = 3^{2} = 9$ ✓
10. uzdevums
Atrisini vienādojumu: $5^{x + 2} = 25$
Pareizā atbilde: D) $x = 0$
Atrisinājums:
1. Pamatprincips. Ja $a^{p} = a^{q}$ (vienāda bāze abās pusēs), tad $p = q$. Mērķis ir abās pusēs panākt vienu un to pašu bāzi.

2. Pārveido labo pusi. $25$ jāizsaka kā $5$ pakāpe:
$5^1 = 5, 5^2 = 25$.
Atrasts: $25 = 5^{2}$.

3. Pārraksti vienādojumu. $5^{x + 2} = 5^{2}$.

4. Vienādo eksponentus. Tā kā bāze ir tāda pati, eksponenti ir vienādi:
$x + 2 = 2$

5. Atrisini par $x$. Pārvietojam $+2$ uz labo pusi:
$x = 2 - 2 = 0$.

6. Distraktoru analīze.
• $x = 1$ — par 1 par lielu. Bieža kļūda: pārvietojot konstanti, izmantota nepareiza zīme (saskaitīts, kad bija jāatņem, vai otrādi).
• $x = -1$ — par 1 par mazu. Tipiska "off-by-one" — pārskaitījies par vienu vai aizmirsis vienu soli pakāpju kāpināšanā.
• $x = 2$ — skolēns apstājies pēc eksponentu vienādošanas un aizmirsis atrisināt vienādojumu $x + 2 = 2$. Tas ir RHS eksponents, ne $x$.

7. Pārbaude. Ievietojam $x = 0$:
$5^{0 + 2} = 5^{2} = 25$ ✓
▶ Trenēties ar neierobežotiem uzdevumiem — atvērt MatemPro

11. klases citi uzdevumi

Logaritmi uzdevumi →Aritmētiskā progresija uzdevumi →Ģeometriskā progresija uzdevumi →Saliktās funkcijas $f(g(x))$ uzdevumi →Cilindrs uzdevumi →Sfēra un lode uzdevumi →Stereometrijas pamatlikumi uzdevumi →Pamatvērtības (sin, cos, tan) uzdevumi →