Bernulli shēma — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 4$ šāvieni, $p = 0,6$ trāpīt, $1-p = 0,4$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 3$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_4^3 = 4$ (cik veidos sadalīt 3 trāpījumus pa 4 šāvieniem)
$p^k = 0,6^{3} = 0,2160$
$(1-p)^{n-k} = 0,4^{1} = 0,4000$

5. Reizini visu kopā.
$P_4(3) = 4 \cdot 0,2160 \cdot 0,4000 \approx 0,3456$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0,6912$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $2,4000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0,6$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0,3456 der ✓

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 4$ šāvieni, $p = 0,6$ trāpīt, $1-p = 0,4$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 1$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_4^1 = 4$ (cik veidos sadalīt 1 trāpījumus pa 4 šāvieniem)
$p^k = 0,6^{1} = 0,6000$
$(1-p)^{n-k} = 0,4^{3} = 0,0640$

5. Reizini visu kopā.
$P_4(1) = 4 \cdot 0,6000 \cdot 0,0640 \approx 0,1536$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0,3072$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $2,4000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0,6$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0,1536 der ✓

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 5$ šāvieni, $p = 0,7$ trāpīt, $1-p = 0,3$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 2$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_5^2 = 10$ (cik veidos sadalīt 2 trāpījumus pa 5 šāvieniem)
$p^k = 0,7^{2} = 0,4900$
$(1-p)^{n-k} = 0,3^{3} = 0,0270$

5. Reizini visu kopā.
$P_5(2) = 10 \cdot 0,4900 \cdot 0,0270 \approx 0,1323$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0,2646$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $7,0000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0,7$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0,1323 der ✓

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 3$ šāvieni, $p = 0,5$ trāpīt, $1-p = 0,5$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 2$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_3^2 = 3$ (cik veidos sadalīt 2 trāpījumus pa 3 šāvieniem)
$p^k = 0,5^{2} = 0,2500$
$(1-p)^{n-k} = 0,5^{1} = 0,5000$

5. Reizini visu kopā.
$P_3(2) = 3 \cdot 0,2500 \cdot 0,5000 \approx 0,375$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0,7500$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $1,5000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0,5$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0,375 der ✓

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 5$ šāvieni, $p = 0,6$ trāpīt, $1-p = 0,4$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 3$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_5^3 = 10$ (cik veidos sadalīt 3 trāpījumus pa 5 šāvieniem)
$p^k = 0,6^{3} = 0,2160$
$(1-p)^{n-k} = 0,4^{2} = 0,1600$

5. Reizini visu kopā.
$P_5(3) = 10 \cdot 0,2160 \cdot 0,1600 \approx 0,3456$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0,6912$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $6,0000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0,6$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0,3456 der ✓

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 4$ šāvieni, $p = 0,6$ trāpīt, $1-p = 0,4$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 2$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_4^2 = 6$ (cik veidos sadalīt 2 trāpījumus pa 4 šāvieniem)
$p^k = 0,6^{2} = 0,3600$
$(1-p)^{n-k} = 0,4^{2} = 0,1600$

5. Reizini visu kopā.
$P_4(2) = 6 \cdot 0,3600 \cdot 0,1600 \approx 0,3456$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0,6912$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $3,6000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0,6$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0,3456 der ✓

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 5$ šāvieni, $p = 0,5$ trāpīt, $1-p = 0,5$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 1$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_5^1 = 5$ (cik veidos sadalīt 1 trāpījumus pa 5 šāvieniem)
$p^k = 0,5^{1} = 0,5000$
$(1-p)^{n-k} = 0,5^{4} = 0,0625$

5. Reizini visu kopā.
$P_5(1) = 5 \cdot 0,5000 \cdot 0,0625 \approx 0,1563$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0,3126$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $2,5000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0,5$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0,1563 der ✓

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 4$ šāvieni, $p = 0,8$ trāpīt, $1-p = 0,2$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 1$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_4^1 = 4$ (cik veidos sadalīt 1 trāpījumus pa 4 šāvieniem)
$p^k = 0,8^{1} = 0,8000$
$(1-p)^{n-k} = 0,2^{3} = 0,0080$

5. Reizini visu kopā.
$P_4(1) = 4 \cdot 0,8000 \cdot 0,0080 \approx 0,0256$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0,0512$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $3,2000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0,8$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0,0256 der ✓

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 5$ šāvieni, $p = 0,8$ trāpīt, $1-p = 0,2$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 3$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_5^3 = 10$ (cik veidos sadalīt 3 trāpījumus pa 5 šāvieniem)
$p^k = 0,8^{3} = 0,5120$
$(1-p)^{n-k} = 0,2^{2} = 0,0400$

5. Reizini visu kopā.
$P_5(3) = 10 \cdot 0,5120 \cdot 0,0400 \approx 0,2048$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0,4096$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $8,0000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0,8$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0,2048 der ✓

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 3$ šāvieni, $p = 0,5$ trāpīt, $1-p = 0,5$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 1$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_3^1 = 3$ (cik veidos sadalīt 1 trāpījumus pa 3 šāvieniem)
$p^k = 0,5^{1} = 0,5000$
$(1-p)^{n-k} = 0,5^{2} = 0,2500$

5. Reizini visu kopā.
$P_3(1) = 3 \cdot 0,5000 \cdot 0,2500 \approx 0,375$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0,7500$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $1,5000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0,5$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0,375 der ✓