5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $-25$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $80$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $-17$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.
6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{5}$ ir $4$ soļi pa $-4$, tāpēc kopējā maiņa ir $-16$. Sākot no $-5$, beigu vērtība ir $-21$ ✓
7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.
2. Kāpēc tā? Saliekot pirmo un pēdējo, otro un priekšpēdējo, ..., katra pāra summa ir $a_1 + a_n$ (tāpēc, ka aritmētiskajā progresijā simetriski no abām galām pāru summas ir vienādas). Pāru ir $\dfrac{n}{2}$, tāpēc $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n)$.
5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $6$ — aizmirsts DALĪT ar lēcienu skaitu $(n - m)$. Tā ir kopējā izmaiņa, ne izmaiņa uz vienu soli. • $4$ — lēcienu skaits saskaitīts nepareizi; pareizi $6 - 4 = 2$, tāpēc $d = 3$. • $5$ — lēcienu skaits saskaitīts nepareizi; pareizi $6 - 4 = 2$, tāpēc $d = 3$.
5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $59$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $-420$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $63$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.
6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{11}$ ir $10$ soļi pa $6$, tāpēc kopējā maiņa ir $60$. Sākot no $-7$, beigu vērtība ir $53$ ✓
7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.
2. Kāpēc tā? Saliekot pirmo un pēdējo, otro un priekšpēdējo, ..., katra pāra summa ir $a_1 + a_n$ (tāpēc, ka aritmētiskajā progresijā simetriski no abām galām pāru summas ir vienādas). Pāru ir $\dfrac{n}{2}$, tāpēc $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n)$.
5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $-14$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $40$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $-5$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.
6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{9}$ ir $8$ soļi pa $-1$, tāpēc kopējā maiņa ir $-8$. Sākot no $-5$, beigu vērtība ir $-13$ ✓
7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.
2. Kāpēc tā? Saliekot pirmo un pēdējo, otro un priekšpēdējo, ..., katra pāra summa ir $a_1 + a_n$ (tāpēc, ka aritmētiskajā progresijā simetriski no abām galām pāru summas ir vienādas). Pāru ir $\dfrac{n}{2}$, tāpēc $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n)$.
5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $56$ — reizināts $n \cdot a_1$; summas formulā ir VIDĒJAIS no pirmā un pēdējā. • $17{,}5$ — aprēķināts tikai vidējais loceklis, aizmirsts reizināt ar $n$. • $70$ — aprēķina kļūda; summa ir $140$.
6. Pārbaude — vidējais loceklis. Vidējais aritmētiskais ir $\dfrac{a_1 + a_n}{2} = 17{,}5$. Reizinot ar $n = 8$, iegūstam $140$ ✓
7. Alternatīvs formula. $S_n = \dfrac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$ — ja nav viegli atrast $a_n$, var ievietot tieši šajā formā.
9. uzdevums
Aritmētiskā progresija: $a_5 = 12$ un $a_7 = 20$. Atrast diferenci $d$.
A) $5$
B) $8$
C) $2$
D) $4$
Pareizā atbilde: D) $4$
Atrisinājums: 1. Pamatprincips. Aritmētiskā progresijā, lai pārietu no $a_m$ uz $a_n$ ($n > m$), vajag $(n - m)$ "lēcienus" pa $d$.
2. Pielieto formulu. $a_n = a_m + (n - m) \cdot d$, tāpēc $d = \dfrac{a_n - a_m}{n - m}$.
3. Atzīmē, kas dots. $a_5 = 12$, $a_7 = 20$. Atrod $d$.
5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $2$ — atbildēts lēcienu skaits, ne diference. • $5$ — lēcienu skaits saskaitīts nepareizi; pareizi $7 - 5 = 2$, tāpēc $d = 4$. • $8$ — aizmirsts DALĪT ar lēcienu skaitu $(n - m)$. Tā ir kopējā izmaiņa, ne izmaiņa uz vienu soli.
5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $-15$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $45$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $-9$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.
6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{6}$ ir $5$ soļi pa $-1$, tāpēc kopējā maiņa ir $-5$. Sākot no $-9$, beigu vērtība ir $-14$ ✓
7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.