9. klasePamati

Vienādojumu sistēmas (2 nezināmie) — uzdevumi ar atrisinājumiem

10 uzdevumi ar pilniem soli-pa-solim atrisinājumiem. Aplikācijā pieejami neierobežoti jauni uzdevumi ar automātisku pārbaudi.

Vispirms teorija? Izlasi Vienādojumu sistēmas (2 nezināmie) — teorija, formulas un piemēri →
1. uzdevums
Atrisini vienādojumu sistēmu: $\begin{cases} 2x + 3y = -1 \\ 4x - 2y = -10 \end{cases}$
Pareizā atbilde: B) $x = -2; \, y = 1$
Atrisinājums:
1. Metode — aizvietošana vai saskaitīšana. Šeit izmantojam aizvietošanas metodi: izteicam vienu mainīgo no 1. vienādojuma un ievietojam 2. vienādojumā.

2. Izsaki $y$ no 1. vienādojuma. No $2x + 3y = -1$: $3y = -1 - 2x$, tāpēc $y = \dfrac{-1 - 2x}{3}$.

3. Ievieto otrajā vienādojumā. $4x - 2y = -10$ → $4x - 2\cdot y = -10$, kur $y$ vietā liekam izteikumu no 2. soļa.

4. Atrisini attiecībā uz $x$. Pēc pārveidojumiem iegūstam $x = -2$.

5. Atrod $y$. Ievieto $x = -2$ atpakaļ 1. vienādojumā: $2(-2) + 3y = -1$, tāpēc $3y = 3$, $y = 1$.

6. Pārbaude. 1. vienādojums: $2\cdot(-2) + 3\cdot1 = -1 = -1$ ✓. 2. vienādojums: $4\cdot(-2) + (-2)\cdot1 = -10 = -10$ ✓.

7. Padoms. Sistēmas vienmēr pārbauda — ievieto atrastās vērtības abos vienādojumos. Ja vismaz viens nesakrīt — kļūda.
2. uzdevums
Viena lielā kaste maksā $6$ EUR, viena mazā kaste — $5$ EUR. Kopā nopirktas $9$ kastes par $48$ EUR. Cik lielo kastu nopirkts?
Pareizā atbilde: D) $3$
Atrisinājums:
1. Divi nezināmie — divi vienādojumi. Teksts dod DIVAS ziņas, tāpēc vajag divus vienādojumus.
$x$ — lielo kastu skaits, $y$ — mazo kastu skaits.

2. Pārtulko katru teikumu.
"Kopā $9$ kastes" $\Rightarrow$ $x + y = 9$
"Kopā samaksāts $48$ EUR" $\Rightarrow$ $6x + 5y = 48$

3. Izsaki un ievieto. No pirmā: $y = 9 - x$. Ievietojam otrajā:
$6x + 5(9 - x) = 48$
$6x + 45 - 5x = 48$
$1x = 3$
$x = 3$

4. Otrs nezināmais. $y = 9 - 3 = 6$

5. Tipiskās kļūdas.
• $6$ — atrasts $y$, nevis $x$. Pēc atrisināšanas vienmēr pārlasi, kurš nezināmais bija prasīts.
• $5$ — aprēķina kļūda; pārbaudi ABOS vienādojumos.
• $8$ — visa nauda dalīta ar vienu cenu, it kā visas kastes būtu vienādas.

6. Pārbaude ABOS vienādojumos.
$3 + 6 = 9$ ✓
$6 \cdot 3 + 5 \cdot 6 = 18 + 30 = 48$ ✓
Sistēmu vienmēr pārbauda abos — viens vienādojums var izpildīties arī nepareizai atbildei.
3. uzdevums
Atrisini vienādojumu sistēmu: $\begin{cases} x - y = 6 \\ 4x - 2y = 22 \end{cases}$
Pareizā atbilde: C) $x = 5; \, y = -1$
Atrisinājums:
1. Metode — aizvietošana vai saskaitīšana. Šeit izmantojam aizvietošanas metodi: izteicam vienu mainīgo no 1. vienādojuma un ievietojam 2. vienādojumā.

2. Izsaki $y$ no 1. vienādojuma. No $x - y = 6$: $-y = 6 - x$, tāpēc $y = \dfrac{6 - x}{-1}$.

3. Ievieto otrajā vienādojumā. $4x - 2y = 22$ → $4x - 2\cdot y = 22$, kur $y$ vietā liekam izteikumu no 2. soļa.

4. Atrisini attiecībā uz $x$. Pēc pārveidojumiem iegūstam $x = 5$.

5. Atrod $y$. Ievieto $x = 5$ atpakaļ 1. vienādojumā: $5 - y = 6$, tāpēc $-y = 1$, $y = -1$.

6. Pārbaude. 1. vienādojums: $1\cdot5 + (-1)\cdot(-1) = 6 = 6$ ✓. 2. vienādojums: $4\cdot5 + (-2)\cdot(-1) = 22 = 22$ ✓.

7. Padoms. Sistēmas vienmēr pārbauda — ievieto atrastās vērtības abos vienādojumos. Ja vismaz viens nesakrīt — kļūda.
4. uzdevums
Viena biezā burtnīca maksā $5$ EUR, viena plānā burtnīca — $1$ EUR. Kopā nopirktas $9$ burtnīcas par $17$ EUR. Cik biezo burtnīcu nopirkts?
Pareizā atbilde: A) $2$
Atrisinājums:
1. Divi nezināmie — divi vienādojumi. Teksts dod DIVAS ziņas, tāpēc vajag divus vienādojumus.
$x$ — biezo burtnīcu skaits, $y$ — plāno burtnīcu skaits.

2. Pārtulko katru teikumu.
"Kopā $9$ burtnīcas" $\Rightarrow$ $x + y = 9$
"Kopā samaksāts $17$ EUR" $\Rightarrow$ $5x + 1y = 17$

3. Izsaki un ievieto. No pirmā: $y = 9 - x$. Ievietojam otrajā:
$5x + 1(9 - x) = 17$
$5x + 9 - 1x = 17$
$4x = 8$
$x = 2$

4. Otrs nezināmais. $y = 9 - 2 = 7$

5. Tipiskās kļūdas.
• $6$ — aprēķina kļūda; pārbaudi ABOS vienādojumos.
• $4$ — aprēķina kļūda; pārbaudi ABOS vienādojumos.
• $3$ — visa nauda dalīta ar vienu cenu, it kā visas burtnīcas būtu vienādas.

6. Pārbaude ABOS vienādojumos.
$2 + 7 = 9$ ✓
$5 \cdot 2 + 1 \cdot 7 = 10 + 7 = 17$ ✓
Sistēmu vienmēr pārbauda abos — viens vienādojums var izpildīties arī nepareizai atbildei.
5. uzdevums
Atrisini vienādojumu sistēmu: $\begin{cases} 3x - 2y = -4 \\ 3x - y = -2 \end{cases}$
Pareizā atbilde: A) $x = 0; \, y = 2$
Atrisinājums:
1. Metode — aizvietošana vai saskaitīšana. Šeit izmantojam aizvietošanas metodi: izteicam vienu mainīgo no 1. vienādojuma un ievietojam 2. vienādojumā.

2. Izsaki $y$ no 1. vienādojuma. No $3x - 2y = -4$: $-2y = -4 - 3x$, tāpēc $y = \dfrac{-4 - 3x}{-2}$.

3. Ievieto otrajā vienādojumā. $3x - y = -2$ → $3x - \cdot y = -2$, kur $y$ vietā liekam izteikumu no 2. soļa.

4. Atrisini attiecībā uz $x$. Pēc pārveidojumiem iegūstam $x = 0$.

5. Atrod $y$. Ievieto $x = 0$ atpakaļ 1. vienādojumā: $30 - 2y = -4$, tāpēc $-2y = -4$, $y = 2$.

6. Pārbaude. 1. vienādojums: $3\cdot0 + (-2)\cdot2 = -4 = -4$ ✓. 2. vienādojums: $3\cdot0 + (-1)\cdot2 = -2 = -2$ ✓.

7. Padoms. Sistēmas vienmēr pārbauda — ievieto atrastās vērtības abos vienādojumos. Ja vismaz viens nesakrīt — kļūda.
6. uzdevums
Viena pieaugušo biļete maksā $8$ EUR, viena bērnu biļete — $5$ EUR. Kopā nopirktas $12$ biļetes par $78$ EUR. Cik pieaugušo biļešu nopirkts?
Pareizā atbilde: B) $6$
Atrisinājums:
1. Divi nezināmie — divi vienādojumi. Teksts dod DIVAS ziņas, tāpēc vajag divus vienādojumus.
$x$ — pieaugušo biļešu skaits, $y$ — bērnu biļešu skaits.

2. Pārtulko katru teikumu.
"Kopā $12$ biļetes" $\Rightarrow$ $x + y = 12$
"Kopā samaksāts $78$ EUR" $\Rightarrow$ $8x + 5y = 78$

3. Izsaki un ievieto. No pirmā: $y = 12 - x$. Ievietojam otrajā:
$8x + 5(12 - x) = 78$
$8x + 60 - 5x = 78$
$3x = 18$
$x = 6$

4. Otrs nezināmais. $y = 12 - 6 = 6$

5. Tipiskās kļūdas.
• $4$ — aprēķina kļūda; pārbaudi ABOS vienādojumos.
• $5$ — aprēķina kļūda; pārbaudi ABOS vienādojumos.
• $3$ — aprēķina kļūda; pārbaudi ABOS vienādojumos.

6. Pārbaude ABOS vienādojumos.
$6 + 6 = 12$ ✓
$8 \cdot 6 + 5 \cdot 6 = 48 + 30 = 78$ ✓
Sistēmu vienmēr pārbauda abos — viens vienādojums var izpildīties arī nepareizai atbildei.
7. uzdevums
Atrisini vienādojumu sistēmu: $\begin{cases} 4x + 3y = -16 \\ x - 3y = -4 \end{cases}$
Pareizā atbilde: A) $x = -4; \, y = 0$
Atrisinājums:
1. Metode — aizvietošana vai saskaitīšana. Šeit izmantojam aizvietošanas metodi: izteicam vienu mainīgo no 1. vienādojuma un ievietojam 2. vienādojumā.

2. Izsaki $y$ no 1. vienādojuma. No $4x + 3y = -16$: $3y = -16 - 4x$, tāpēc $y = \dfrac{-16 - 4x}{3}$.

3. Ievieto otrajā vienādojumā. $x - 3y = -4$ → $x - 3\cdot y = -4$, kur $y$ vietā liekam izteikumu no 2. soļa.

4. Atrisini attiecībā uz $x$. Pēc pārveidojumiem iegūstam $x = -4$.

5. Atrod $y$. Ievieto $x = -4$ atpakaļ 1. vienādojumā: $4(-4) + 3y = -16$, tāpēc $3y = 0$, $y = 0$.

6. Pārbaude. 1. vienādojums: $4\cdot(-4) + 3\cdot0 = -16 = -16$ ✓. 2. vienādojums: $1\cdot(-4) + (-3)\cdot0 = -4 = -4$ ✓.

7. Padoms. Sistēmas vienmēr pārbauda — ievieto atrastās vērtības abos vienādojumos. Ja vismaz viens nesakrīt — kļūda.
8. uzdevums
Viena sarkanā pildspalva maksā $4$ EUR, viena zilā pildspalva — $2$ EUR. Kopā nopirktas $14$ pildspalvas par $42$ EUR. Cik sarkano pildspalvu nopirkts?
Pareizā atbilde: C) $7$
Atrisinājums:
1. Divi nezināmie — divi vienādojumi. Teksts dod DIVAS ziņas, tāpēc vajag divus vienādojumus.
$x$ — sarkano pildspalvu skaits, $y$ — zilo pildspalvu skaits.

2. Pārtulko katru teikumu.
"Kopā $14$ pildspalvas" $\Rightarrow$ $x + y = 14$
"Kopā samaksāts $42$ EUR" $\Rightarrow$ $4x + 2y = 42$

3. Izsaki un ievieto. No pirmā: $y = 14 - x$. Ievietojam otrajā:
$4x + 2(14 - x) = 42$
$4x + 28 - 2x = 42$
$2x = 14$
$x = 7$

4. Otrs nezināmais. $y = 14 - 7 = 7$

5. Tipiskās kļūdas.
• $5$ — aprēķina kļūda; pārbaudi ABOS vienādojumos.
• $6$ — aprēķina kļūda; pārbaudi ABOS vienādojumos.
• $9$ — aprēķina kļūda; pārbaudi ABOS vienādojumos.

6. Pārbaude ABOS vienādojumos.
$7 + 7 = 14$ ✓
$4 \cdot 7 + 2 \cdot 7 = 28 + 14 = 42$ ✓
Sistēmu vienmēr pārbauda abos — viens vienādojums var izpildīties arī nepareizai atbildei.
9. uzdevums
Atrisini vienādojumu sistēmu: $\begin{cases} 3x - 3y = -27 \\ 4x - 2y = -26 \end{cases}$
Pareizā atbilde: A) $x = -4; \, y = 5$
Atrisinājums:
1. Metode — aizvietošana vai saskaitīšana. Šeit izmantojam aizvietošanas metodi: izteicam vienu mainīgo no 1. vienādojuma un ievietojam 2. vienādojumā.

2. Izsaki $y$ no 1. vienādojuma. No $3x - 3y = -27$: $-3y = -27 - 3x$, tāpēc $y = \dfrac{-27 - 3x}{-3}$.

3. Ievieto otrajā vienādojumā. $4x - 2y = -26$ → $4x - 2\cdot y = -26$, kur $y$ vietā liekam izteikumu no 2. soļa.

4. Atrisini attiecībā uz $x$. Pēc pārveidojumiem iegūstam $x = -4$.

5. Atrod $y$. Ievieto $x = -4$ atpakaļ 1. vienādojumā: $3(-4) - 3y = -27$, tāpēc $-3y = -15$, $y = 5$.

6. Pārbaude. 1. vienādojums: $3\cdot(-4) + (-3)\cdot5 = -27 = -27$ ✓. 2. vienādojums: $4\cdot(-4) + (-2)\cdot5 = -26 = -26$ ✓.

7. Padoms. Sistēmas vienmēr pārbauda — ievieto atrastās vērtības abos vienādojumos. Ja vismaz viens nesakrīt — kļūda.
10. uzdevums
Viena pieaugušo biļete maksā $12$ EUR, viena bērnu biļete — $3$ EUR. Kopā nopirktas $17$ biļetes par $96$ EUR. Cik pieaugušo biļešu nopirkts?
Pareizā atbilde: A) $5$
Atrisinājums:
1. Divi nezināmie — divi vienādojumi. Teksts dod DIVAS ziņas, tāpēc vajag divus vienādojumus.
$x$ — pieaugušo biļešu skaits, $y$ — bērnu biļešu skaits.

2. Pārtulko katru teikumu.
"Kopā $17$ biļetes" $\Rightarrow$ $x + y = 17$
"Kopā samaksāts $96$ EUR" $\Rightarrow$ $12x + 3y = 96$

3. Izsaki un ievieto. No pirmā: $y = 17 - x$. Ievietojam otrajā:
$12x + 3(17 - x) = 96$
$12x + 51 - 3x = 96$
$9x = 45$
$x = 5$

4. Otrs nezināmais. $y = 17 - 5 = 12$

5. Tipiskās kļūdas.
• $12$ — atrasts $y$, nevis $x$. Pēc atrisināšanas vienmēr pārlasi, kurš nezināmais bija prasīts.
• $11$ — aprēķina kļūda; pārbaudi ABOS vienādojumos.
• $8$ — visa nauda dalīta ar vienu cenu, it kā visas biļetes būtu vienādas.

6. Pārbaude ABOS vienādojumos.
$5 + 12 = 17$ ✓
$12 \cdot 5 + 3 \cdot 12 = 60 + 36 = 96$ ✓
Sistēmu vienmēr pārbauda abos — viens vienādojums var izpildīties arī nepareizai atbildei.
▶ Trenēties ar neierobežotiem uzdevumiem — atvērt MatemPro

9. klases citi uzdevumi

Līdzīgi trijstūri uzdevumi →Trapeces uzdevumi →Sin, cos, tan taisnleņķa trijstūrī uzdevumi →Izteiksmju sadalīšana reizinājumos uzdevumi →Kvadrātvienādojumi (diskriminants, Vjeta) uzdevumi →Skaitļu virknes (progresijas) uzdevumi →Riņķī ievilkti un apvilkti daudzstūri uzdevumi →Kvadrātfunkcija (parabola) uzdevumi →