9. klasePamati

Skaitļu virknes (progresijas) — uzdevumi ar atrisinājumiem

10 uzdevumi ar pilniem soli-pa-solim atrisinājumiem. Aplikācijā pieejami neierobežoti jauni uzdevumi ar automātisku pārbaudi.

Vispirms teorija? Izlasi Skaitļu virknes (progresijas) — teorija, formulas un piemēri →
1. uzdevums
Aritmētiskā progresija: $a_1 = 5$, $d = 6$. Atrast $a_{15}$.
Pareizā atbilde: C) $89$
Atrisinājums:
1. Aritmētiskā progresija. Skaitļu virkne, kurā katrs nākamais loceklis iegūts, pievienojot iepriekšējam KONSTANTU starpību $d$ (diferenci).
$a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, jāveic $(n-1)$ "lēcieni" pa $d$ no pirmā locekļa.

3. Atzīmē, kas dots. $a_1 = 5$, $d = 6$, $n = 15$.

4. Aprēķini.
$a_{15} = 5 + (15 - 1) \cdot 6$
$a_{15} = 5 + 14 \cdot 6$
$a_{15} = 5 + 84$
$a_{15} = 89$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $95$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $420$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $103$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.

6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{15}$ ir $14$ soļi pa $6$, tāpēc kopējā maiņa ir $84$. Sākot no $5$, beigu vērtība ir $89$ ✓

7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.
2. uzdevums
Ģeometriskā progresija: $b_1 = 1$, $q = -2$. Atrast $b_{3}$.
Pareizā atbilde: D) $4$
Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 1$, $q = -2$, $n = 3$.

5. Aprēķini.
$b_{3} = 1 \cdot -2^{2}$
$-2^{2} = 4$
$b_{3} = 1 \cdot 4 = 4$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $-8$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $-3$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $-2$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 1$, $b_2 = -2$, $b_3 = 4$. ✓
3. uzdevums
Aritmētiskā progresija: $a_1 = 8$, $d = -2$. Atrast $a_{13}$.
Pareizā atbilde: D) $-16$
Atrisinājums:
1. Aritmētiskā progresija. Skaitļu virkne, kurā katrs nākamais loceklis iegūts, pievienojot iepriekšējam KONSTANTU starpību $d$ (diferenci).
$a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, jāveic $(n-1)$ "lēcieni" pa $d$ no pirmā locekļa.

3. Atzīmē, kas dots. $a_1 = 8$, $d = -2$, $n = 13$.

4. Aprēķini.
$a_{13} = 8 + (13 - 1) \cdot -2$
$a_{13} = 8 + 12 \cdot -2$
$a_{13} = 8 + -24$
$a_{13} = -16$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $-18$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $-192$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $-4$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.

6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{13}$ ir $12$ soļi pa $-2$, tāpēc kopējā maiņa ir $-24$. Sākot no $8$, beigu vērtība ir $-16$ ✓

7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.
4. uzdevums
Ģeometriskā progresija: $b_1 = 1$, $q = 3$. Atrast $b_{6}$.
Pareizā atbilde: D) $243$
Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 1$, $q = 3$, $n = 6$.

5. Aprēķini.
$b_{6} = 1 \cdot 3^{5}$
$3^{5} = 243$
$b_{6} = 1 \cdot 243 = 243$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $729$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $16$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $3$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 1$, $b_2 = 3$, $b_3 = 9$, $b_4 = 27$, $b_5 = 81$, $b_6 = 243$. ✓
5. uzdevums
Aritmētiskā progresija: $a_1 = 1$, $d = -2$. Atrast $a_{14}$.
Pareizā atbilde: D) $-25$
Atrisinājums:
1. Aritmētiskā progresija. Skaitļu virkne, kurā katrs nākamais loceklis iegūts, pievienojot iepriekšējam KONSTANTU starpību $d$ (diferenci).
$a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, jāveic $(n-1)$ "lēcieni" pa $d$ no pirmā locekļa.

3. Atzīmē, kas dots. $a_1 = 1$, $d = -2$, $n = 14$.

4. Aprēķini.
$a_{14} = 1 + (14 - 1) \cdot -2$
$a_{14} = 1 + 13 \cdot -2$
$a_{14} = 1 + -26$
$a_{14} = -25$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $-27$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $-26$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $-12$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.

6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{14}$ ir $13$ soļi pa $-2$, tāpēc kopējā maiņa ir $-26$. Sākot no $1$, beigu vērtība ir $-25$ ✓

7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.
6. uzdevums
Ģeometriskā progresija: $b_1 = 2$, $q = 3$. Atrast $b_{6}$.
Pareizā atbilde: D) $486$
Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 2$, $q = 3$, $n = 6$.

5. Aprēķini.
$b_{6} = 2 \cdot 3^{5}$
$3^{5} = 243$
$b_{6} = 2 \cdot 243 = 486$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $1458$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $17$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $192$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 2$, $b_2 = 6$, $b_3 = 18$, $b_4 = 54$, $b_5 = 162$, $b_6 = 486$. ✓
7. uzdevums
Aritmētiskā progresija: $a_1 = 7$, $d = 3$. Atrast $a_{8}$.
Pareizā atbilde: D) $28$
Atrisinājums:
1. Aritmētiskā progresija. Skaitļu virkne, kurā katrs nākamais loceklis iegūts, pievienojot iepriekšējam KONSTANTU starpību $d$ (diferenci).
$a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, jāveic $(n-1)$ "lēcieni" pa $d$ no pirmā locekļa.

3. Atzīmē, kas dots. $a_1 = 7$, $d = 3$, $n = 8$.

4. Aprēķini.
$a_{8} = 7 + (8 - 1) \cdot 3$
$a_{8} = 7 + 7 \cdot 3$
$a_{8} = 7 + 21$
$a_{8} = 28$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $31$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $147$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $35$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.

6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{8}$ ir $7$ soļi pa $3$, tāpēc kopējā maiņa ir $21$. Sākot no $7$, beigu vērtība ir $28$ ✓

7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.
8. uzdevums
Ģeometriskā progresija: $b_1 = 1$, $q = 3$. Atrast $b_{5}$.
Pareizā atbilde: C) $81$
Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 1$, $q = 3$, $n = 5$.

5. Aprēķini.
$b_{5} = 1 \cdot 3^{4}$
$3^{4} = 81$
$b_{5} = 1 \cdot 81 = 81$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $243$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $13$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $3$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 1$, $b_2 = 3$, $b_3 = 9$, $b_4 = 27$, $b_5 = 81$. ✓
9. uzdevums
Aritmētiskā progresija: $a_1 = -5$, $d = 2$. Atrast $a_{7}$.
Pareizā atbilde: A) $7$
Atrisinājums:
1. Aritmētiskā progresija. Skaitļu virkne, kurā katrs nākamais loceklis iegūts, pievienojot iepriekšējam KONSTANTU starpību $d$ (diferenci).
$a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, jāveic $(n-1)$ "lēcieni" pa $d$ no pirmā locekļa.

3. Atzīmē, kas dots. $a_1 = -5$, $d = 2$, $n = 7$.

4. Aprēķini.
$a_{7} = -5 + (7 - 1) \cdot 2$
$a_{7} = -5 + 6 \cdot 2$
$a_{7} = -5 + 12$
$a_{7} = 7$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $9$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $-60$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $13$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.

6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{7}$ ir $6$ soļi pa $2$, tāpēc kopējā maiņa ir $12$. Sākot no $-5$, beigu vērtība ir $7$ ✓

7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.
10. uzdevums
Ģeometriskā progresija: $b_1 = 1$, $q = -2$. Atrast $b_{6}$.
Pareizā atbilde: C) $-32$
Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 1$, $q = -2$, $n = 6$.

5. Aprēķini.
$b_{6} = 1 \cdot -2^{5}$
$-2^{5} = -32$
$b_{6} = 1 \cdot -32 = -32$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $64$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $-9$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $-2$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 1$, $b_2 = -2$, $b_3 = 4$, $b_4 = -8$, $b_5 = 16$, $b_6 = -32$. ✓
▶ Trenēties ar neierobežotiem uzdevumiem — atvērt MatemPro

9. klases citi uzdevumi

Līdzīgi trijstūri uzdevumi →Trapeces uzdevumi →Sin, cos, tan taisnleņķa trijstūrī uzdevumi →Izteiksmju sadalīšana reizinājumos uzdevumi →Kvadrātvienādojumi (diskriminants, Vjeta) uzdevumi →Vienādojumu sistēmas (2 nezināmie) uzdevumi →Riņķī ievilkti un apvilkti daudzstūri uzdevumi →Kvadrātfunkcija (parabola) uzdevumi →