Riņķī ievilkti un apvilkti daudzstūri — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Ievilktās riņķa līnijas centrs. Kvadrāta ievilktās riņķa līnijas centrs ir kvadrāta centrs (diagonāļu krustpunkts).

2. Pieskaras malām. Ievilktais riņķis pieskaras katrai kvadrāta malai vidū. Tātad diametrs = attālums starp pretējām malām = kvadrāta mala.

3. Rādiuss = puse malas. $r = \dfrac{a}{2} = \dfrac{6}{2}$ cm.

4. Atmiņas paņēmiens. Kvadrātam: ievilktais $r = a/2$, apvilktais $R = a\sqrt{2}/2$. Attiecība $R/r = \sqrt{2} \approx 1{,}41$.

5. Bieža kļūda. Sajaukt ar diagonāli vai pašu malu. Atceries: rādiuss vienmēr ir puse diametra. Diametrs šeit ir mala (jo pieskaršanās punkti ir vidū malu).

Atrisinājums:
1. Sešstūra struktūra. Sešstūris = 6 vienādmalu trijstūri ar malu $a$ un virsotni centrā.

2. Ievilktais rādiuss = apotēma. Ievilktās riņķa līnijas rādiuss pieskaras katrai malai vidū — tā ir tā saucamā apotēma.

3. Aprēķins. Apotēma = augstums vienādmalu trijstūrim no centra uz malu: $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ cm.

4. Atmiņas paņēmiens. Sešstūrim: apvilktais $R = a$ (caur virsotnēm), ievilktais $r = a\sqrt{3}/2$ (caur malu vidiem, apotēma).

5. Salīdzinājums. $r < R$ vienmēr, jo malas viduspunkts ir tuvāk centram nekā virsotne. Šeit: $\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}6 < 3$ ✓.

Atrisinājums:
1. Apvilktās riņķa līnijas centrs. Kvadrāta apvilktās riņķa līnijas centrs ir kvadrāta diagonāļu krustpunkts (kvadrāta centrs).

2. Rādiuss = puse no diagonāles. Apvilktā riņķa līnija iet caur visām 4 virsotnēm, tāpēc tās diametrs = kvadrāta diagonāle.

3. Aprēķini diagonāli. Kvadrāta ar malu $a$ diagonāle $d = a\sqrt{2}$ (no Pitagora teorēmas: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$).

4. Rādiuss = $d/2$. $R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2}$ cm.

5. Atmiņas paņēmiens. Kvadrātam: ievilktais rādiuss $= a/2$ (māsa pusei), apvilktais rādiuss $= a\sqrt{2}/2$ (puse diagonāles). Apvilktais vienmēr lielāks par ievilkto.

6. Bieža kļūda. Sajaukt ievilkto ($r = a/2$) ar apvilkto ($R = a\sqrt{2}/2$) — atceries: apvilkts iet caur virsotnēm (lielāks), ievilkts pieskaras malām (mazāks).

Atrisinājums:
1. Apvilktās riņķa līnijas centrs. Kvadrāta apvilktās riņķa līnijas centrs ir kvadrāta diagonāļu krustpunkts (kvadrāta centrs).

2. Rādiuss = puse no diagonāles. Apvilktā riņķa līnija iet caur visām 4 virsotnēm, tāpēc tās diametrs = kvadrāta diagonāle.

3. Aprēķini diagonāli. Kvadrāta ar malu $a$ diagonāle $d = a\sqrt{2}$ (no Pitagora teorēmas: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$).

4. Rādiuss = $d/2$. $R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} = \dfrac{10\sqrt{2}}{2}$ cm.

5. Atmiņas paņēmiens. Kvadrātam: ievilktais rādiuss $= a/2$ (māsa pusei), apvilktais rādiuss $= a\sqrt{2}/2$ (puse diagonāles). Apvilktais vienmēr lielāks par ievilkto.

6. Bieža kļūda. Sajaukt ievilkto ($r = a/2$) ar apvilkto ($R = a\sqrt{2}/2$) — atceries: apvilkts iet caur virsotnēm (lielāks), ievilkts pieskaras malām (mazāks).

Atrisinājums:
1. Ievilktās riņķa līnijas centrs. Kvadrāta ievilktās riņķa līnijas centrs ir kvadrāta centrs (diagonāļu krustpunkts).

2. Pieskaras malām. Ievilktais riņķis pieskaras katrai kvadrāta malai vidū. Tātad diametrs = attālums starp pretējām malām = kvadrāta mala.

3. Rādiuss = puse malas. $r = \dfrac{a}{2} = \dfrac{5}{2}$ cm.

4. Atmiņas paņēmiens. Kvadrātam: ievilktais $r = a/2$, apvilktais $R = a\sqrt{2}/2$. Attiecība $R/r = \sqrt{2} \approx 1{,}41$.

5. Bieža kļūda. Sajaukt ar diagonāli vai pašu malu. Atceries: rādiuss vienmēr ir puse diametra. Diametrs šeit ir mala (jo pieskaršanās punkti ir vidū malu).

Atrisinājums:
1. Apvilktās riņķa līnijas centrs. Kvadrāta apvilktās riņķa līnijas centrs ir kvadrāta diagonāļu krustpunkts (kvadrāta centrs).

2. Rādiuss = puse no diagonāles. Apvilktā riņķa līnija iet caur visām 4 virsotnēm, tāpēc tās diametrs = kvadrāta diagonāle.

3. Aprēķini diagonāli. Kvadrāta ar malu $a$ diagonāle $d = a\sqrt{2}$ (no Pitagora teorēmas: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$).

4. Rādiuss = $d/2$. $R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} = \dfrac{7\sqrt{2}}{2}$ cm.

5. Atmiņas paņēmiens. Kvadrātam: ievilktais rādiuss $= a/2$ (māsa pusei), apvilktais rādiuss $= a\sqrt{2}/2$ (puse diagonāles). Apvilktais vienmēr lielāks par ievilkto.

6. Bieža kļūda. Sajaukt ievilkto ($r = a/2$) ar apvilkto ($R = a\sqrt{2}/2$) — atceries: apvilkts iet caur virsotnēm (lielāks), ievilkts pieskaras malām (mazāks).

Atrisinājums:
1. Sešstūra unikālā īpašība. Regulārs sešstūris sastāv no 6 vienādmalu trijstūriem ar virsotni centrā.

2. Tāpēc. Attālums no centra līdz jebkurai virsotnei = sešstūra mala $a$.

3. Apvilktais rādiuss = mala. $R = a = 7$ cm.

4. Atmiņas paņēmiens. Sešstūrim $R = a$ (apvilktais = mala) — vienīgais regulārais daudzstūris ar tik vienkāršu sakarību. Ievilktais $r = a\sqrt{3}/2$ (mazliet mazāks par malu).

5. Bieža kļūda. Lietot $a\sqrt{3}/2$ (tas ir ievilktais rādiuss = apotēma) vai $a\sqrt{3}$.

Atrisinājums:
1. Apvilktās riņķa līnijas centrs. Kvadrāta apvilktās riņķa līnijas centrs ir kvadrāta diagonāļu krustpunkts (kvadrāta centrs).

2. Rādiuss = puse no diagonāles. Apvilktā riņķa līnija iet caur visām 4 virsotnēm, tāpēc tās diametrs = kvadrāta diagonāle.

3. Aprēķini diagonāli. Kvadrāta ar malu $a$ diagonāle $d = a\sqrt{2}$ (no Pitagora teorēmas: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$).

4. Rādiuss = $d/2$. $R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} = \dfrac{9\sqrt{2}}{2}$ cm.

5. Atmiņas paņēmiens. Kvadrātam: ievilktais rādiuss $= a/2$ (māsa pusei), apvilktais rādiuss $= a\sqrt{2}/2$ (puse diagonāles). Apvilktais vienmēr lielāks par ievilkto.

6. Bieža kļūda. Sajaukt ievilkto ($r = a/2$) ar apvilkto ($R = a\sqrt{2}/2$) — atceries: apvilkts iet caur virsotnēm (lielāks), ievilkts pieskaras malām (mazāks).

Atrisinājums:
1. Sešstūra unikālā īpašība. Regulārs sešstūris sastāv no 6 vienādmalu trijstūriem ar virsotni centrā.

2. Tāpēc. Attālums no centra līdz jebkurai virsotnei = sešstūra mala $a$.

3. Apvilktais rādiuss = mala. $R = a = 5$ cm.

4. Atmiņas paņēmiens. Sešstūrim $R = a$ (apvilktais = mala) — vienīgais regulārais daudzstūris ar tik vienkāršu sakarību. Ievilktais $r = a\sqrt{3}/2$ (mazliet mazāks par malu).

5. Bieža kļūda. Lietot $a\sqrt{3}/2$ (tas ir ievilktais rādiuss = apotēma) vai $a\sqrt{3}$.

Atrisinājums:
1. Augstums. $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

2. Centra īpašība. Ievilktās un apvilktās riņķa līnijas centrs sakrīt ar mediānu krustpunktu, kas sadala augstumu attiecībā $2:1$ no virsotnes.

3. Ievilktais = 1/3 augstuma. $r = \dfrac{1}{3}h = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} = \dfrac{9\sqrt{3}}{6}$ cm.

4. Atmiņas paņēmiens. Vienādmalu trijstūrim attiecība $R = 2r$ vienmēr. Ja zini vienu — otrs vai nu pusi, vai dubultā.

5. Pārbaude. Vai $r$ ir mazāks par augstumu? $\dfrac{9\sqrt{3}}{6} < \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$ ✓ (jā, mazāks par pusi).