Nevienādības (lin., kvadr., daļveida) — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Saknes. $x_1 = 4$, $x_2 = 10$.

2. Zaru virziens. Koeficients pie $x^2$ ir pozitīvs — zari vērsti augšup.

3. Kur izteiksme ir vajadzīgajā zīmē. ĀRPUS saknēm — tāpēc atbilde ir $(-\infty; 4] \cup [10; +\infty)$.

4. Gali. Nevienādība NAV stingra, tāpēc saknes ietilpst — kvadrātiekavas.

5. Biežākā kļūda. Iegaumēt "$<$ = starp saknēm" kā likumu. Tas der tikai pie pozitīva koeficienta pie $x^2$.

Atrisinājums:
1. Saknes. $x_1 = 2$, $x_2 = 6$.

2. Zaru virziens. Koeficients pie $x^2$ ir NEGATĪVS — zari vērsti lejup.

3. Kur izteiksme ir vajadzīgajā zīmē. ĀRPUS saknēm — tāpēc atbilde ir $(-\infty; 2] \cup [6; +\infty)$.

4. Gali. Nevienādība NAV stingra, tāpēc saknes ietilpst — kvadrātiekavas.

5. Biežākā kļūda. Iegaumēt "$<$ = starp saknēm" kā likumu. Tas der tikai pie pozitīva koeficienta pie $x^2$.

Atrisinājums:
1. Galvenā doma. Reāla skaitļa kvadrāts NEKAD nav negatīvs: $x^2 \geq 0$.

2. Šim uzdevumam. $x^2 + 8$ ir vismaz $8$, tāpēc negatīvs tas nekad nav.

3. Biežākā kļūda. Mēģināt atrast saknes ar diskriminantu tur, kur to nav — vispirms paskaties, vai izteiksme vispār var mainīt zīmi.

Atrisinājums:
1. Galvenā doma. Reāla skaitļa kvadrāts NEKAD nav negatīvs: $x^2 \geq 0$.

2. Šim uzdevumam. Jebkura reāla skaitļa kvadrāts nav negatīvs.

3. Biežākā kļūda. Mēģināt atrast saknes ar diskriminantu tur, kur to nav — vispirms paskaties, vai izteiksme vispār var mainīt zīmi.

Atrisinājums:
1. Nulles. Skaitītājs ir nulle pie $x = -4$, saucējs — pie $x = -1$. Punktā $x = -1$ daļa nav definēta, tāpēc tas NEKAD nepieder atrisinājumam.

2. Zīmju metode. Uz skaitļu ass atzīmējam $-4$ un $-1$; daļas zīme mainās pie katra no tiem.

3. Atbilde. Daļa ir POZITĪVA ārpus nullēm: $(-\infty; -4) \cup (-1; +\infty)$.

4. Biežākā kļūda. Reizināt abas puses ar saucēju. To darīt nedrīkst — saucēja zīme nav zināma, un, reizinot ar negatīvu, nevienādības zīme mainītos.

Atrisinājums:
1. Atrodam saknes. Vienādojuma saknes ir $x_1 = -6$ un $x_2 = 1$.

2. Kur parabola ir zem/virs ass. Koeficients pie $x^2$ ir pozitīvs, tāpēc zari vērsti augšup. Izteiksme ir negatīva STARP saknēm.

3. Atbilde. Atrisinājums ir $(-6; 1)$, tātad kreisais gals ir $-6$.

4. Biežākā kļūda. Automātiski pieņemt, ka "$<$ nozīmē starp saknēm". Tā ir tiesa TIKAI tad, ja koeficients pie $x^2$ ir pozitīvs — pretējā gadījumā viss apgriežas.

Atrisinājums:
1. Atrodam saknes. Vienādojuma saknes ir $x_1 = 1$ un $x_2 = 5$.

2. Kur parabola ir zem/virs ass. Koeficients pie $x^2$ ir pozitīvs, tāpēc zari vērsti augšup. Izteiksme ir negatīva STARP saknēm.

3. Atbilde. Atrisinājums ir $(1; 5)$, tātad kreisais gals ir $1$.

4. Biežākā kļūda. Automātiski pieņemt, ka "$<$ nozīmē starp saknēm". Tā ir tiesa TIKAI tad, ja koeficients pie $x^2$ ir pozitīvs — pretējā gadījumā viss apgriežas.

Atrisinājums:
1. Nulles. Skaitītājs ir nulle pie $x = -4$, saucējs — pie $x = 2$. Punktā $x = 2$ daļa nav definēta, tāpēc tas NEKAD nepieder atrisinājumam.

2. Zīmju metode. Uz skaitļu ass atzīmējam $-4$ un $2$; daļas zīme mainās pie katra no tiem.

3. Atbilde. Daļa ir NEGATĪVA starp nullēm: $(-4; 2)$.

4. Biežākā kļūda. Reizināt abas puses ar saucēju. To darīt nedrīkst — saucēja zīme nav zināma, un, reizinot ar negatīvu, nevienādības zīme mainītos.

Atrisinājums:
1. Kāpēc te NEPIETIEK ar vienu sakni. Kvadrātā kāpināšana "aizmirst" zīmi: gan $4^2$, gan $(-4)^2$ ir $16$. Tāpēc jāapskata ABI zari.

2. Pārbaudām ar konkrētiem skaitļiem.
$x = 5$: $25 > 16$ — der.
$x = -5$: $25 > 16$ — der arī!

3. Atbilde. $x < -4$ vai $x > 4$ — divi intervāli, ne viens.

4. Biežākā kļūda. No $x^2 > 16$ secināt $x > 4$, aizmirstot negatīvos $x$. Vienmēr pārbaudi ar kādu negatīvu skaitli.

Atrisinājums:
1. Abas puses kā vienas bāzes pakāpes. $27 = 3^{3}$, tāpēc nevienādība ir $3^x < 3^{3}$.

2. Bāzes izšķirošā loma. Bāze $3 > 1$, tāpēc funkcija AUG un nevienādības zīme SAGLABĀJAS.

3. Atbilde. $x < 3$.

4. Biežākā kļūda. Apgriezt zīmi automātiski vai neapgriezt vispār. Vienīgais kritērijs ir tas, vai bāze ir lielāka vai mazāka par $1$.