Kvadrātvienādojumi (diskriminants, Vjeta) — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Identificē koeficientus. Vispārīgā forma ir $ax^2 + bx + c = 0$. Šeit $a = 1$, $b = -1$, $c = -2$.

2. Aprēķini diskriminantu. $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 - -8 = 9$.

3. Diskriminants pozitīvs → divas dažādas reālas saknes.

4. Lieto sakņu formulu.
$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \dfrac{1 \pm 3}{2}$

$x_1 = \dfrac{-2}{2} = -1$, $x_2 = \dfrac{4}{2} = 2$.

5. Pārbaude ar Vjeta teorēmu. $x_1 + x_2 = 1 = -b/a = 1$ ✓. $x_1 \cdot x_2 = -2 = c/a = -2$ ✓.

6. Bieža kļūda. Aizmirst mīnus zīmi formulā $-b$ — atceries, ka $b$ vērtība jāņem ar pretēju zīmi. Šeit $b = -1$, tāpēc $-b = 1$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 10x + 24 = 0$, tāpēc $p = -10$, $q = 24$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $10$ un reizinājumā $24$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $24$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 24 = 24$ (summa $25$),
$2 \cdot 12 = 24$ (summa $14$),
$3 \cdot 8 = 24$ (summa $11$),
$4 \cdot 6 = 24$ (summa $10$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 4$, $x_2 = 6$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 4$:   $4^2 - 10 \cdot 4 + 24 = 16 - 40 + 24 = 0$ ✓
$x = 6$:   $6^2 - 10 \cdot 6 + 24 = 36 - 60 + 24 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -4, x_2 = -6$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-4) + (-6) = -10$, kas neatbilst saknes summai $10$.
• $x_1 = 5, x_2 = 7$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $12$ un reizinājums $35$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($10$ un $24$).
• $x_1 = 4, x_2 = 8$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 10x + 24 = (x - 4)(x - 6)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 10^2 - 4 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$. $\sqrt{D} = 2$. $x = \dfrac{10 \pm 2}{2}$.

Atrisinājums:
1. Identificē koeficientus. Vispārīgā forma ir $ax^2 + bx + c = 0$. Šeit $a = 1$, $b = -5$, $c = 4$.

2. Aprēķini diskriminantu. $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4) = 25 - 16 = 9$.

3. Diskriminants pozitīvs → divas dažādas reālas saknes.

4. Lieto sakņu formulu.
$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \dfrac{5 \pm 3}{2}$

$x_1 = \dfrac{2}{2} = 1$, $x_2 = \dfrac{8}{2} = 4$.

5. Pārbaude ar Vjeta teorēmu. $x_1 + x_2 = 5 = -b/a = 5$ ✓. $x_1 \cdot x_2 = 4 = c/a = 4$ ✓.

6. Bieža kļūda. Aizmirst mīnus zīmi formulā $-b$ — atceries, ka $b$ vērtība jāņem ar pretēju zīmi. Šeit $b = -5$, tāpēc $-b = 5$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 11x + 24 = 0$, tāpēc $p = -11$, $q = 24$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $11$ un reizinājumā $24$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $24$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 24 = 24$ (summa $25$),
$2 \cdot 12 = 24$ (summa $14$),
$3 \cdot 8 = 24$ (summa $11$ — der!),
$4 \cdot 6 = 24$ (summa $10$).

4. Atrisinājums. $x_1 = 3$, $x_2 = 8$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 3$:   $3^2 - 11 \cdot 3 + 24 = 9 - 33 + 24 = 0$ ✓
$x = 8$:   $8^2 - 11 \cdot 8 + 24 = 64 - 88 + 24 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -3, x_2 = -8$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-3) + (-8) = -11$, kas neatbilst saknes summai $11$.
• $x_1 = 4, x_2 = 9$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $13$ un reizinājums $36$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($11$ un $24$).
• $x_1 = 3, x_2 = 10$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 11x + 24 = (x - 3)(x - 8)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 11^2 - 4 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$. $\sqrt{D} = 5$. $x = \dfrac{11 \pm 5}{2}$.

Atrisinājums:
1. Identificē koeficientus. Vispārīgā forma ir $ax^2 + bx + c = 0$. Šeit $a = 1$, $b = -2$, $c = -15$.

2. Aprēķini diskriminantu. $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 - -60 = 64$.

3. Diskriminants pozitīvs → divas dažādas reālas saknes.

4. Lieto sakņu formulu.
$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{2 \pm \sqrt{64}}{2} = \dfrac{2 \pm 8}{2}$

$x_1 = \dfrac{-6}{2} = -3$, $x_2 = \dfrac{10}{2} = 5$.

5. Pārbaude ar Vjeta teorēmu. $x_1 + x_2 = 2 = -b/a = 2$ ✓. $x_1 \cdot x_2 = -15 = c/a = -15$ ✓.

6. Bieža kļūda. Aizmirst mīnus zīmi formulā $-b$ — atceries, ka $b$ vērtība jāņem ar pretēju zīmi. Šeit $b = -2$, tāpēc $-b = 2$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 13x + 42 = 0$, tāpēc $p = -13$, $q = 42$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $13$ un reizinājumā $42$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $42$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 42 = 42$ (summa $43$),
$2 \cdot 21 = 42$ (summa $23$),
$3 \cdot 14 = 42$ (summa $17$),
$6 \cdot 7 = 42$ (summa $13$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 6$, $x_2 = 7$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 6$:   $6^2 - 13 \cdot 6 + 42 = 36 - 78 + 42 = 0$ ✓
$x = 7$:   $7^2 - 13 \cdot 7 + 42 = 49 - 91 + 42 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -6, x_2 = -7$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-6) + (-7) = -13$, kas neatbilst saknes summai $13$.
• $x_1 = 7, x_2 = 8$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $15$ un reizinājums $56$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($13$ un $42$).
• $x_1 = 6, x_2 = 9$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 13x + 42 = (x - 6)(x - 7)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 13^2 - 4 \cdot 42 = 169 - 168 = 1$. $\sqrt{D} = 1$. $x = \dfrac{13 \pm 1}{2}$.

Atrisinājums:
1. Identificē koeficientus. Vispārīgā forma ir $ax^2 + bx + c = 0$. Šeit $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$.

2. Aprēķini diskriminantu. $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3) = 16 - 12 = 4$.

3. Diskriminants pozitīvs → divas dažādas reālas saknes.

4. Lieto sakņu formulu.
$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \dfrac{4 \pm 2}{2}$

$x_1 = \dfrac{2}{2} = 1$, $x_2 = \dfrac{6}{2} = 3$.

5. Pārbaude ar Vjeta teorēmu. $x_1 + x_2 = 4 = -b/a = 4$ ✓. $x_1 \cdot x_2 = 3 = c/a = 3$ ✓.

6. Bieža kļūda. Aizmirst mīnus zīmi formulā $-b$ — atceries, ka $b$ vērtība jāņem ar pretēju zīmi. Šeit $b = -4$, tāpēc $-b = 4$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 11x + 28 = 0$, tāpēc $p = -11$, $q = 28$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $11$ un reizinājumā $28$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $28$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 28 = 28$ (summa $29$),
$2 \cdot 14 = 28$ (summa $16$),
$4 \cdot 7 = 28$ (summa $11$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 4$, $x_2 = 7$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 4$:   $4^2 - 11 \cdot 4 + 28 = 16 - 44 + 28 = 0$ ✓
$x = 7$:   $7^2 - 11 \cdot 7 + 28 = 49 - 77 + 28 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -4, x_2 = -7$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-4) + (-7) = -11$, kas neatbilst saknes summai $11$.
• $x_1 = 5, x_2 = 8$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $13$ un reizinājums $40$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($11$ un $28$).
• $x_1 = 4, x_2 = 9$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 11x + 28 = (x - 4)(x - 7)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 11^2 - 4 \cdot 28 = 121 - 112 = 9$. $\sqrt{D} = 3$. $x = \dfrac{11 \pm 3}{2}$.

Atrisinājums:
1. Identificē koeficientus. Vispārīgā forma ir $ax^2 + bx + c = 0$. Šeit $a = 1$, $b = -5$, $c = -6$.

2. Aprēķini diskriminantu. $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 - -24 = 49$.

3. Diskriminants pozitīvs → divas dažādas reālas saknes.

4. Lieto sakņu formulu.
$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \dfrac{5 \pm 7}{2}$

$x_1 = \dfrac{-2}{2} = -1$, $x_2 = \dfrac{12}{2} = 6$.

5. Pārbaude ar Vjeta teorēmu. $x_1 + x_2 = 5 = -b/a = 5$ ✓. $x_1 \cdot x_2 = -6 = c/a = -6$ ✓.

6. Bieža kļūda. Aizmirst mīnus zīmi formulā $-b$ — atceries, ka $b$ vērtība jāņem ar pretēju zīmi. Šeit $b = -5$, tāpēc $-b = 5$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 12x + 35 = 0$, tāpēc $p = -12$, $q = 35$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $12$ un reizinājumā $35$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $35$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 35 = 35$ (summa $36$),
$5 \cdot 7 = 35$ (summa $12$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 5$, $x_2 = 7$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 5$:   $5^2 - 12 \cdot 5 + 35 = 25 - 60 + 35 = 0$ ✓
$x = 7$:   $7^2 - 12 \cdot 7 + 35 = 49 - 84 + 35 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -5, x_2 = -7$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-5) + (-7) = -12$, kas neatbilst saknes summai $12$.
• $x_1 = 6, x_2 = 8$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $14$ un reizinājums $48$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($12$ un $35$).
• $x_1 = 5, x_2 = 9$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 12x + 35 = (x - 5)(x - 7)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 12^2 - 4 \cdot 35 = 144 - 140 = 4$. $\sqrt{D} = 2$. $x = \dfrac{12 \pm 2}{2}$.