Kombinācijas un faktoriāli — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Atšķirības starp variācijām un kombinācijām.
• Variācijas ($A_n^k$) — secībai IR nozīme. Piem., 1. vieta, 2. vieta sacensībās.
• Kombinācijas ($C_n^k$) — secībai NAV nozīmes. Piem., komanda no skolēniem.

2. Šajā uzdevumā secība nav svarīga. Komanda {Anna, Bērzs, Cīrule} = {Cīrule, Anna, Bērzs} — viena un tā pati komanda. Tāpēc lietojam kombinācijas.

3. Formula. $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}$

4. Mūsu vērtības. $n = 5$, $k = 2$.
Skaitītājs: $5 \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$
Saucējs: $2! = 1 \cdot 2 = 2$
$C_5^2 = \dfrac{20}{2} = 10$

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $5$ — atbildēts kopējais elementu skaits.
• $20$ — aizmirsts dalīt ar $k!$; tas ir VARIĀCIJU skaits $A_{5}^{2}$, kur secībai ir nozīme.
• $11$ — aprēķina kļūda; $C_{5}^{2} = 10$.

6. Bieža kļūda. Aizmirst dalīt ar $k!$ — tādējādi iegūst variāciju skaitu ($20$), kas ir $2!$ reizes lielāks par kombināciju skaitu (jo katrai komandai ir $2!$ veidu sakārtot tos secībā).

Atrisinājums:
1. Definīcija. $n!$ (lasi: "n faktoriāls") ir visu pozitīvu veselo skaitļu no $1$ līdz $n$ reizinājums:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

2. Speciālgadījums. $0! = 1$ (pēc definīcijas — nav neviena skaitļa, ko reizināt; atbild "tukšs reizinājums" = 1).

3. Kāpēc tas svarīgi? $n!$ skaita, cik veidos var sakārtot $n$ atšķirīgus elementus secībā. Piemēram, 3 skolēni rindā: $3! = 6$ veidi.

4. Aprēķini. $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $9$ — skolēns kāpinājis $n$ kvadrātā ($n^2$), sajaucot faktoriālu ar pakāpi. Faktoriāls ir REIZINĀJUMS visiem skaitļiem līdz $n$, ne kvadrāts.
• $6$ — skolēns lietojis aritmētiskās progresijas summas formulu ($\frac{n(n+1)}{2}$), aizmirstot, ka faktoriālā skaitļi REIZINĀJAS, nevis saskaitās.
• $2$ — skolēns aprēķinājis $(n-1)!$ vietā $n!$, aizmirstot pēdējo reizinātāju.

6. Atmiņas palīgs. Faktoriāls aug ļoti strauji: $1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720, 7!=5040$.

7. Sakarība ar kombinācijām. $n!$ parādās arī formulās $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ un $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.

Atrisinājums:
1. Atšķirības starp variācijām un kombinācijām.
• Variācijas ($A_n^k$) — secībai IR nozīme. Piem., 1. vieta, 2. vieta sacensībās.
• Kombinācijas ($C_n^k$) — secībai NAV nozīmes. Piem., komanda no skolēniem.

2. Šajā uzdevumā secība nav svarīga. Komanda {Anna, Bērzs, Cīrule} = {Cīrule, Anna, Bērzs} — viena un tā pati komanda. Tāpēc lietojam kombinācijas.

3. Formula. $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}$

4. Mūsu vērtības. $n = 5$, $k = 4$.
Skaitītājs: $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$
Saucējs: $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
$C_5^4 = \dfrac{120}{24} = 5$

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $120$ — aizmirsts dalīt ar $k!$; tas ir VARIĀCIJU skaits $A_{5}^{4}$, kur secībai ir nozīme.
• $10$ — aprēķina kļūda; $C_{5}^{4} = 5$.
• $6$ — aprēķina kļūda; $C_{5}^{4} = 5$.

6. Bieža kļūda. Aizmirst dalīt ar $k!$ — tādējādi iegūst variāciju skaitu ($120$), kas ir $4!$ reizes lielāks par kombināciju skaitu (jo katrai komandai ir $4!$ veidu sakārtot tos secībā).

Atrisinājums:
1. Atšķirības starp variācijām un kombinācijām.
• Variācijas ($A_n^k$) — secībai IR nozīme. Piem., 1. vieta, 2. vieta sacensībās.
• Kombinācijas ($C_n^k$) — secībai NAV nozīmes. Piem., komanda no skolēniem.

2. Šajā uzdevumā secība nav svarīga. Komanda {Anna, Bērzs, Cīrule} = {Cīrule, Anna, Bērzs} — viena un tā pati komanda. Tāpēc lietojam kombinācijas.

3. Formula. $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}$

4. Mūsu vērtības. $n = 5$, $k = 3$.
Skaitītājs: $5 \cdot 4 \cdot 3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$
Saucējs: $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$
$C_5^3 = \dfrac{60}{6} = 10$

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $9$ — aprēķina kļūda; $C_{5}^{3} = 10$.
• $3$ — atbildēts izvēlamo elementu skaits.
• $20$ — aprēķina kļūda; $C_{5}^{3} = 10$.

6. Bieža kļūda. Aizmirst dalīt ar $k!$ — tādējādi iegūst variāciju skaitu ($60$), kas ir $3!$ reizes lielāks par kombināciju skaitu (jo katrai komandai ir $3!$ veidu sakārtot tos secībā).

Atrisinājums:
1. Atšķirības starp variācijām un kombinācijām.
• Variācijas ($A_n^k$) — secībai IR nozīme. Piem., 1. vieta, 2. vieta sacensībās.
• Kombinācijas ($C_n^k$) — secībai NAV nozīmes. Piem., komanda no skolēniem.

2. Šajā uzdevumā secība nav svarīga. Komanda {Anna, Bērzs, Cīrule} = {Cīrule, Anna, Bērzs} — viena un tā pati komanda. Tāpēc lietojam kombinācijas.

3. Formula. $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}$

4. Mūsu vērtības. $n = 8$, $k = 2$.
Skaitītājs: $8 \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56$
Saucējs: $2! = 1 \cdot 2 = 2$
$C_8^2 = \dfrac{56}{2} = 28$

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $27$ — aprēķina kļūda; $C_{8}^{2} = 28$.
• $8$ — atbildēts kopējais elementu skaits.
• $29$ — aprēķina kļūda; $C_{8}^{2} = 28$.

6. Bieža kļūda. Aizmirst dalīt ar $k!$ — tādējādi iegūst variāciju skaitu ($56$), kas ir $2!$ reizes lielāks par kombināciju skaitu (jo katrai komandai ir $2!$ veidu sakārtot tos secībā).

Atrisinājums:
1. Definīcija. $n!$ (lasi: "n faktoriāls") ir visu pozitīvu veselo skaitļu no $1$ līdz $n$ reizinājums:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

2. Speciālgadījums. $0! = 1$ (pēc definīcijas — nav neviena skaitļa, ko reizināt; atbild "tukšs reizinājums" = 1).

3. Kāpēc tas svarīgi? $n!$ skaita, cik veidos var sakārtot $n$ atšķirīgus elementus secībā. Piemēram, 3 skolēni rindā: $3! = 6$ veidi.

4. Aprēķini. $6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $36$ — skolēns kāpinājis $n$ kvadrātā ($n^2$), sajaucot faktoriālu ar pakāpi. Faktoriāls ir REIZINĀJUMS visiem skaitļiem līdz $n$, ne kvadrāts.
• $21$ — skolēns lietojis aritmētiskās progresijas summas formulu ($\frac{n(n+1)}{2}$), aizmirstot, ka faktoriālā skaitļi REIZINĀJAS, nevis saskaitās.
• $120$ — skolēns aprēķinājis $(n-1)!$ vietā $n!$, aizmirstot pēdējo reizinātāju.

6. Atmiņas palīgs. Faktoriāls aug ļoti strauji: $1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720, 7!=5040$.

7. Sakarība ar kombinācijām. $n!$ parādās arī formulās $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ un $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.

Atrisinājums:
1. Atšķirības starp variācijām un kombinācijām.
• Variācijas ($A_n^k$) — secībai IR nozīme. Piem., 1. vieta, 2. vieta sacensībās.
• Kombinācijas ($C_n^k$) — secībai NAV nozīmes. Piem., komanda no skolēniem.

2. Šajā uzdevumā secība nav svarīga. Komanda {Anna, Bērzs, Cīrule} = {Cīrule, Anna, Bērzs} — viena un tā pati komanda. Tāpēc lietojam kombinācijas.

3. Formula. $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}$

4. Mūsu vērtības. $n = 6$, $k = 3$.
Skaitītājs: $6 \cdot 5 \cdot 4 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$
Saucējs: $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$
$C_6^3 = \dfrac{120}{6} = 20$

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $6$ — atbildēts kopējais elementu skaits.
• $10$ — aprēķina kļūda; $C_{6}^{3} = 20$.
• $21$ — aprēķina kļūda; $C_{6}^{3} = 20$.

6. Bieža kļūda. Aizmirst dalīt ar $k!$ — tādējādi iegūst variāciju skaitu ($120$), kas ir $3!$ reizes lielāks par kombināciju skaitu (jo katrai komandai ir $3!$ veidu sakārtot tos secībā).

Atrisinājums:
1. Definīcija. $n!$ (lasi: "n faktoriāls") ir visu pozitīvu veselo skaitļu no $1$ līdz $n$ reizinājums:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

2. Speciālgadījums. $0! = 1$ (pēc definīcijas — nav neviena skaitļa, ko reizināt; atbild "tukšs reizinājums" = 1).

3. Kāpēc tas svarīgi? $n!$ skaita, cik veidos var sakārtot $n$ atšķirīgus elementus secībā. Piemēram, 3 skolēni rindā: $3! = 6$ veidi.

4. Aprēķini. $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $16$ — skolēns kāpinājis $n$ kvadrātā ($n^2$), sajaucot faktoriālu ar pakāpi. Faktoriāls ir REIZINĀJUMS visiem skaitļiem līdz $n$, ne kvadrāts.
• $10$ — skolēns lietojis aritmētiskās progresijas summas formulu ($\frac{n(n+1)}{2}$), aizmirstot, ka faktoriālā skaitļi REIZINĀJAS, nevis saskaitās.
• $6$ — skolēns aprēķinājis $(n-1)!$ vietā $n!$, aizmirstot pēdējo reizinātāju.

6. Atmiņas palīgs. Faktoriāls aug ļoti strauji: $1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720, 7!=5040$.

7. Sakarība ar kombinācijām. $n!$ parādās arī formulās $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ un $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.

Atrisinājums:
1. Atšķirības starp variācijām un kombinācijām.
• Variācijas ($A_n^k$) — secībai IR nozīme. Piem., 1. vieta, 2. vieta sacensībās.
• Kombinācijas ($C_n^k$) — secībai NAV nozīmes. Piem., komanda no skolēniem.

2. Šajā uzdevumā secība nav svarīga. Komanda {Anna, Bērzs, Cīrule} = {Cīrule, Anna, Bērzs} — viena un tā pati komanda. Tāpēc lietojam kombinācijas.

3. Formula. $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}$

4. Mūsu vērtības. $n = 10$, $k = 4$.
Skaitītājs: $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$
Saucējs: $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
$C_10^4 = \dfrac{5040}{24} = 210$

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $211$ — aprēķina kļūda; $C_{10}^{4} = 210$.
• $420$ — aprēķina kļūda; $C_{10}^{4} = 210$.
• $5040$ — aizmirsts dalīt ar $k!$; tas ir VARIĀCIJU skaits $A_{10}^{4}$, kur secībai ir nozīme.

6. Bieža kļūda. Aizmirst dalīt ar $k!$ — tādējādi iegūst variāciju skaitu ($5040$), kas ir $4!$ reizes lielāks par kombināciju skaitu (jo katrai komandai ir $4!$ veidu sakārtot tos secībā).

Atrisinājums:
1. Atšķirības starp variācijām un kombinācijām.
• Variācijas ($A_n^k$) — secībai IR nozīme. Piem., 1. vieta, 2. vieta sacensībās.
• Kombinācijas ($C_n^k$) — secībai NAV nozīmes. Piem., komanda no skolēniem.

2. Šajā uzdevumā secība nav svarīga. Komanda {Anna, Bērzs, Cīrule} = {Cīrule, Anna, Bērzs} — viena un tā pati komanda. Tāpēc lietojam kombinācijas.

3. Formula. $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}$

4. Mūsu vērtības. $n = 9$, $k = 2$.
Skaitītājs: $9 \cdot 8 = 9 \cdot 8 = 72$
Saucējs: $2! = 1 \cdot 2 = 2$
$C_9^2 = \dfrac{72}{2} = 36$

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $18$ — aprēķina kļūda; $C_{9}^{2} = 36$.
• $35$ — aprēķina kļūda; $C_{9}^{2} = 36$.
• $72$ — aizmirsts dalīt ar $k!$; tas ir VARIĀCIJU skaits $A_{9}^{2}$, kur secībai ir nozīme.

6. Bieža kļūda. Aizmirst dalīt ar $k!$ — tādējādi iegūst variāciju skaitu ($72$), kas ir $2!$ reizes lielāks par kombināciju skaitu (jo katrai komandai ir $2!$ veidu sakārtot tos secībā).