Izteiksmju sadalīšana reizinājumos — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Meklē kopīgo reizinātāju. Locekļi ir $25x^2$ un $15x$.

2. Skaitliskie koeficienti. $\text{LDK}(25, 15) = 5$.

3. Mainīgie. $x^2$ saturā $x$ divreiz, $x$ — vienreiz. Kopīgā daļa = $x$ (mazākā pakāpe).

4. Kopīgais reizinātājs = $5x$. Dali katru locekli: $\dfrac{25x^2}{5x} = 5x$, $\dfrac{15x}{5x} = 3$.

5. Rezultāts. $25x^2 + 15x = 5x(5x + 3)$.

6. Pārbaude (atver iekavas). $5x(5x + 3) = 25x^2 + 15x = 25x^2 + 15x$ ✓.

7. Padoms. Vienmēr izņem MAKSIMĀLO kopīgo reizinātāju — gan skaitlisko, gan mainīgā. Iekavās paliekušais nedrīkst saturēt nekādu kopīgo reizinātāju.

Atrisinājums:
1. Meklē kopīgo reizinātāju. Locekļi ir $16x^2$ un $6x$.

2. Skaitliskie koeficienti. $\text{LDK}(16, 6) = 2$.

3. Mainīgie. $x^2$ saturā $x$ divreiz, $x$ — vienreiz. Kopīgā daļa = $x$ (mazākā pakāpe).

4. Kopīgais reizinātājs = $2x$. Dali katru locekli: $\dfrac{16x^2}{2x} = 8x$, $\dfrac{6x}{2x} = 3$.

5. Rezultāts. $16x^2 + 6x = 2x(8x + 3)$.

6. Pārbaude (atver iekavas). $2x(8x + 3) = 16x^2 + 6x = 16x^2 + 6x$ ✓.

7. Padoms. Vienmēr izņem MAKSIMĀLO kopīgo reizinātāju — gan skaitlisko, gan mainīgā. Iekavās paliekušais nedrīkst saturēt nekādu kopīgo reizinātāju.

Atrisinājums:
1. Pārbaudi, vai ir pilns kvadrāts. Formula: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

2. Identificē $a^2$ un $b^2$.
$25x^2 = (5x)^2 \Rightarrow a = 5x$
$36 = 6^2 \Rightarrow b = 6$

3. Pārbaudi vidējo locekli. $2ab$ jābūt vienādam ar vidējo locekli: $2 \cdot 5x \cdot 6 = 60x$. Tā ir $60x$ — sakrīt ✓.

4. Tātad atbilde. $25x^2 + 60x + 36 = (5x + 6)^2$.

5. Pārbaude (atver iekavas). $(5x + 6)^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 6 + 6^2 = 25x^2 + 60x + 36$ ✓.

6. Bieža kļūda. Sajaukt zīmi vidējā loceklī: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — vidējais ir mīnus. Šeit visi locekļi ir plus, tāpēc lieto $(a + b)^2$.

Atrisinājums:
1. Meklē kopīgo reizinātāju. Termini ir $32x$ un $28y$. Skaitliskie koeficienti: $32$ un $28$.

2. Atrod LDK (lielāko kopīgo dalītāju). $\text{LDK}(32, 28) = 4$.

3. Mainīgie. Vai $x$ un $y$ ir kopīgi? $x$ ir tikai 1. loceklī, $y$ — tikai 2. Tātad mainīgo kopīgā daļa = nav.

4. Kopīgais reizinātājs = $4$. Izņem to ārpus iekavām, dalot katru locekli ar $4$: $\dfrac{32x}{4} = 8x$, $\dfrac{28y}{4} = 7y$.

5. Pieraksti rezultātu. $32x + 28y = 4(8x + 7y)$.

6. Pārbaude (atver iekavas). $4(8x + 7y) = 32x + 28y = 32x + 28y$ ✓.

7. Bieža kļūda. Izņemt par maz (piem., tikai $2$, ja $4$ derētu) vai izņemt $x$/$y$, kuri nav abos locekļos.

Atrisinājums:
1. Pārbaudi, vai ir pilns kvadrāts. Formula: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

2. Identificē $a^2$ un $b^2$.
$9x^2 = (3x)^2 \Rightarrow a = 3x$
$49 = 7^2 \Rightarrow b = 7$

3. Pārbaudi vidējo locekli. $2ab$ jābūt vienādam ar vidējo locekli: $2 \cdot 3x \cdot 7 = 42x$. Tā ir $42x$ — sakrīt ✓.

4. Tātad atbilde. $9x^2 + 42x + 49 = (3x + 7)^2$.

5. Pārbaude (atver iekavas). $(3x + 7)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 7 + 7^2 = 9x^2 + 42x + 49$ ✓.

6. Bieža kļūda. Sajaukt zīmi vidējā loceklī: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — vidējais ir mīnus. Šeit visi locekļi ir plus, tāpēc lieto $(a + b)^2$.

Atrisinājums:
1. Pārbaudi, vai ir pilns kvadrāts. Formula: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

2. Identificē $a^2$ un $b^2$.
$x^2 = (x)^2 \Rightarrow a = x$
$9 = 3^2 \Rightarrow b = 3$

3. Pārbaudi vidējo locekli. $2ab$ jābūt vienādam ar vidējo locekli: $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$. Tā ir $6x$ — sakrīt ✓.

4. Tātad atbilde. $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.

5. Pārbaude (atver iekavas). $(x + 3)^2 = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$ ✓.

6. Bieža kļūda. Sajaukt zīmi vidējā loceklī: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — vidējais ir mīnus. Šeit visi locekļi ir plus, tāpēc lieto $(a + b)^2$.

Atrisinājums:
1. Atpazīsti formulu. Šī ir kvadrātu starpība: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

2. Identificē $a$ un $b$.
$4x^2 = (2x)^2 \Rightarrow a = 2x$
$81 = 9^2 \Rightarrow b = 9$

3. Lieto formulu. $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, tāpēc $4x^2 - 81 = (2x - 9)(2x + 9)$.

4. Pārbaude (atver iekavas). $(2x - 9)(2x + 9) = 4x^2 + 18x - 18x - 81 = 4x^2 - 81$ ✓.

5. Bieža kļūda. Sajaukt ar pilna kvadrāta formulu: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — bet šeit nav vidējā $-2ab$ termina, tāpēc tā NAV pilns kvadrāts.

6. Atmiņas paņēmiens. "Mīnus starp diviem kvadrātiem" → vienmēr ir kvadrātu starpība, divas iekavas ar pretējām zīmēm.

Atrisinājums:
1. Meklē kopīgo reizinātāju. Locekļi ir $32x^2$ un $20x$.

2. Skaitliskie koeficienti. $\text{LDK}(32, 20) = 4$.

3. Mainīgie. $x^2$ saturā $x$ divreiz, $x$ — vienreiz. Kopīgā daļa = $x$ (mazākā pakāpe).

4. Kopīgais reizinātājs = $4x$. Dali katru locekli: $\dfrac{32x^2}{4x} = 8x$, $\dfrac{20x}{4x} = 5$.

5. Rezultāts. $32x^2 + 20x = 4x(8x + 5)$.

6. Pārbaude (atver iekavas). $4x(8x + 5) = 32x^2 + 20x = 32x^2 + 20x$ ✓.

7. Padoms. Vienmēr izņem MAKSIMĀLO kopīgo reizinātāju — gan skaitlisko, gan mainīgā. Iekavās paliekušais nedrīkst saturēt nekādu kopīgo reizinātāju.

Atrisinājums:
1. Pārbaudi, vai ir pilns kvadrāts. Formula: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

2. Identificē $a^2$ un $b^2$.
$16x^2 = (4x)^2 \Rightarrow a = 4x$
$49 = 7^2 \Rightarrow b = 7$

3. Pārbaudi vidējo locekli. $2ab$ jābūt vienādam ar vidējo locekli: $2 \cdot 4x \cdot 7 = 56x$. Tā ir $56x$ — sakrīt ✓.

4. Tātad atbilde. $16x^2 + 56x + 49 = (4x + 7)^2$.

5. Pārbaude (atver iekavas). $(4x + 7)^2 = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 7 + 7^2 = 16x^2 + 56x + 49$ ✓.

6. Bieža kļūda. Sajaukt zīmi vidējā loceklī: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — vidējais ir mīnus. Šeit visi locekļi ir plus, tāpēc lieto $(a + b)^2$.

Atrisinājums:
1. Pārbaudi, vai ir pilns kvadrāts. Formula: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

2. Identificē $a^2$ un $b^2$.
$x^2 = (x)^2 \Rightarrow a = x$
$4 = 2^2 \Rightarrow b = 2$

3. Pārbaudi vidējo locekli. $2ab$ jābūt vienādam ar vidējo locekli: $2 \cdot x \cdot 2 = 4x$. Tā ir $4x$ — sakrīt ✓.

4. Tātad atbilde. $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$.

5. Pārbaude (atver iekavas). $(x + 2)^2 = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$ ✓.

6. Bieža kļūda. Sajaukt zīmi vidējā loceklī: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — vidējais ir mīnus. Šeit visi locekļi ir plus, tāpēc lieto $(a + b)^2$.