12. klaseKombinatorika, varbūtība un statistika
Ņūtona binoms un Paskāla trijstūris — uzdevumi ar atrisinājumiem
10 uzdevumi ar pilniem soli-pa-solim atrisinājumiem. Aplikācijā pieejami neierobežoti jauni uzdevumi ar automātisku pārbaudi.
1. uzdevums
Cik liela ir visu binomiālo koeficientu summa izteiksmes $(a+b)^{5}$ izvirzījumā?
- A) $25$
- B) $37$
- C) $10$
- D) $32$
Pareizā atbilde: D) $32$
Atrisinājums:
Paņēmiens. Koeficientu summa = izteiksmes vērtība pie $a=b=1$: $(1+1)^{5} = 2^{5}$.
$2^{5} = 32$.
2. uzdevums
Cik saskaitāmo (locekļu) ir izteiksmes $(a+b)^{7}$ izvirzījumā pēc Ņūtona binoma?
- A) $8$
- B) $14$
- C) $6$
- D) $7$
Pareizā atbilde: A) $8$
Atrisinājums:
Likums. $(a+b)^n$ izvirzījumā ir $n+1$ saskaitāmo (no $a^n$ līdz $b^n$).
Šeit $n = 7$, tātad $7+1 = 8$ locekļi.
3. uzdevums
Cik saskaitāmo (locekļu) ir izteiksmes $(a+b)^{8}$ izvirzījumā pēc Ņūtona binoma?
- A) $16$
- B) $8$
- C) $9$
- D) $10$
Pareizā atbilde: C) $9$
Atrisinājums:
Likums. $(a+b)^n$ izvirzījumā ir $n+1$ saskaitāmo (no $a^n$ līdz $b^n$).
Šeit $n = 8$, tātad $8+1 = 9$ locekļi.
4. uzdevums
Cik liela ir visu binomiālo koeficientu summa izteiksmes $(a+b)^{7}$ izvirzījumā?
- A) $14$
- B) $128$
- C) $121$
- D) $64$
Pareizā atbilde: B) $128$
Atrisinājums:
Paņēmiens. Koeficientu summa = izteiksmes vērtība pie $a=b=1$: $(1+1)^{7} = 2^{7}$.
$2^{7} = 128$.
5. uzdevums
Cik saskaitāmo (locekļu) ir izteiksmes $(a+b)^{10}$ izvirzījumā pēc Ņūtona binoma?
- A) $11$
- B) $9$
- C) $12$
- D) $20$
Pareizā atbilde: A) $11$
Atrisinājums:
Likums. $(a+b)^n$ izvirzījumā ir $n+1$ saskaitāmo (no $a^n$ līdz $b^n$).
Šeit $n = 10$, tātad $10+1 = 11$ locekļi.
6. uzdevums
Cik liela ir visu binomiālo koeficientu summa izteiksmes $(a+b)^{4}$ izvirzījumā?
- A) $8$
- B) $20$
- C) $16$
- D) $12$
Pareizā atbilde: C) $16$
Atrisinājums:
Paņēmiens. Koeficientu summa = izteiksmes vērtība pie $a=b=1$: $(1+1)^{4} = 2^{4}$.
$2^{4} = 16$.
7. uzdevums
Aprēķini binomiālo koeficientu $\binom{5}{2}$ (Ņūtona binoma koeficients).
- A) $10$
- B) $8$
- C) $9$
- D) $5$
Pareizā atbilde: A) $10$
Atrisinājums:
Formula. $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$.
$\binom{5}{2} = \dfrac{5!}{2!\,3!} = 10$.
Tas ir arī $3.$ skaitlis $5.$ Paskāla trijstūra rindā.
8. uzdevums
Cik saskaitāmo (locekļu) ir izteiksmes $(a+b)^{4}$ izvirzījumā pēc Ņūtona binoma?
Pareizā atbilde: A) $5$
Atrisinājums:
Likums. $(a+b)^n$ izvirzījumā ir $n+1$ saskaitāmo (no $a^n$ līdz $b^n$).
Šeit $n = 4$, tātad $4+1 = 5$ locekļi.
9. uzdevums
Aprēķini binomiālo koeficientu $\binom{5}{3}$ (Ņūtona binoma koeficients).
- A) $20$
- B) $15$
- C) $11$
- D) $10$
Pareizā atbilde: D) $10$
Atrisinājums:
Formula. $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$.
$\binom{5}{3} = \dfrac{5!}{3!\,2!} = 10$.
Tas ir arī $4.$ skaitlis $5.$ Paskāla trijstūra rindā.
10. uzdevums
Cik saskaitāmo (locekļu) ir izteiksmes $(a+b)^{6}$ izvirzījumā pēc Ņūtona binoma?
- A) $7$
- B) $9$
- C) $12$
- D) $8$
Pareizā atbilde: A) $7$
Atrisinājums:
Likums. $(a+b)^n$ izvirzījumā ir $n+1$ saskaitāmo (no $a^n$ līdz $b^n$).
Šeit $n = 6$, tātad $6+1 = 7$ locekļi.