Kvadrātvienādojumi (Vjeta) — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 3x + 2 = 0$, tāpēc $p = -3$, $q = 2$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $3$ un reizinājumā $2$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $2$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 2 = 2$ (summa $3$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 1$:   $1^2 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ ✓
$x = 2$:   $2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -1, x_2 = -2$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-1) + (-2) = -3$, kas neatbilst saknes summai $3$.
• $x_1 = 2, x_2 = 3$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $5$ un reizinājums $6$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($3$ un $2$).
• $x_1 = 1, x_2 = 4$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$. $\sqrt{D} = 1$. $x = \dfrac{3 \pm 1}{2}$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 13x + 40 = 0$, tāpēc $p = -13$, $q = 40$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $13$ un reizinājumā $40$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $40$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 40 = 40$ (summa $41$),
$2 \cdot 20 = 40$ (summa $22$),
$4 \cdot 10 = 40$ (summa $14$),
$5 \cdot 8 = 40$ (summa $13$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 5$, $x_2 = 8$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 5$:   $5^2 - 13 \cdot 5 + 40 = 25 - 65 + 40 = 0$ ✓
$x = 8$:   $8^2 - 13 \cdot 8 + 40 = 64 - 104 + 40 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -5, x_2 = -8$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-5) + (-8) = -13$, kas neatbilst saknes summai $13$.
• $x_1 = 6, x_2 = 9$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $15$ un reizinājums $54$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($13$ un $40$).
• $x_1 = 5, x_2 = 10$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 13x + 40 = (x - 5)(x - 8)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 13^2 - 4 \cdot 40 = 169 - 160 = 9$. $\sqrt{D} = 3$. $x = \dfrac{13 \pm 3}{2}$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 11x + 30 = 0$, tāpēc $p = -11$, $q = 30$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $11$ un reizinājumā $30$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $30$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 30 = 30$ (summa $31$),
$2 \cdot 15 = 30$ (summa $17$),
$3 \cdot 10 = 30$ (summa $13$),
$5 \cdot 6 = 30$ (summa $11$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 5$, $x_2 = 6$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 5$:   $5^2 - 11 \cdot 5 + 30 = 25 - 55 + 30 = 0$ ✓
$x = 6$:   $6^2 - 11 \cdot 6 + 30 = 36 - 66 + 30 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -5, x_2 = -6$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-5) + (-6) = -11$, kas neatbilst saknes summai $11$.
• $x_1 = 6, x_2 = 7$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $13$ un reizinājums $42$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($11$ un $30$).
• $x_1 = 5, x_2 = 8$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 11x + 30 = (x - 5)(x - 6)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 11^2 - 4 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$. $\sqrt{D} = 1$. $x = \dfrac{11 \pm 1}{2}$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 14x + 48 = 0$, tāpēc $p = -14$, $q = 48$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $14$ un reizinājumā $48$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $48$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 48 = 48$ (summa $49$),
$2 \cdot 24 = 48$ (summa $26$),
$3 \cdot 16 = 48$ (summa $19$),
$4 \cdot 12 = 48$ (summa $16$),
$6 \cdot 8 = 48$ (summa $14$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 6$, $x_2 = 8$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 6$:   $6^2 - 14 \cdot 6 + 48 = 36 - 84 + 48 = 0$ ✓
$x = 8$:   $8^2 - 14 \cdot 8 + 48 = 64 - 112 + 48 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -6, x_2 = -8$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-6) + (-8) = -14$, kas neatbilst saknes summai $14$.
• $x_1 = 7, x_2 = 9$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $16$ un reizinājums $63$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($14$ un $48$).
• $x_1 = 6, x_2 = 10$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 14x + 48 = (x - 6)(x - 8)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 14^2 - 4 \cdot 48 = 196 - 192 = 4$. $\sqrt{D} = 2$. $x = \dfrac{14 \pm 2}{2}$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 10x + 24 = 0$, tāpēc $p = -10$, $q = 24$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $10$ un reizinājumā $24$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $24$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 24 = 24$ (summa $25$),
$2 \cdot 12 = 24$ (summa $14$),
$3 \cdot 8 = 24$ (summa $11$),
$4 \cdot 6 = 24$ (summa $10$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 4$, $x_2 = 6$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 4$:   $4^2 - 10 \cdot 4 + 24 = 16 - 40 + 24 = 0$ ✓
$x = 6$:   $6^2 - 10 \cdot 6 + 24 = 36 - 60 + 24 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -4, x_2 = -6$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-4) + (-6) = -10$, kas neatbilst saknes summai $10$.
• $x_1 = 5, x_2 = 7$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $12$ un reizinājums $35$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($10$ un $24$).
• $x_1 = 4, x_2 = 8$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 10x + 24 = (x - 4)(x - 6)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 10^2 - 4 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$. $\sqrt{D} = 2$. $x = \dfrac{10 \pm 2}{2}$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 13x + 42 = 0$, tāpēc $p = -13$, $q = 42$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $13$ un reizinājumā $42$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $42$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 42 = 42$ (summa $43$),
$2 \cdot 21 = 42$ (summa $23$),
$3 \cdot 14 = 42$ (summa $17$),
$6 \cdot 7 = 42$ (summa $13$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 6$, $x_2 = 7$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 6$:   $6^2 - 13 \cdot 6 + 42 = 36 - 78 + 42 = 0$ ✓
$x = 7$:   $7^2 - 13 \cdot 7 + 42 = 49 - 91 + 42 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -6, x_2 = -7$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-6) + (-7) = -13$, kas neatbilst saknes summai $13$.
• $x_1 = 7, x_2 = 8$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $15$ un reizinājums $56$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($13$ un $42$).
• $x_1 = 6, x_2 = 9$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 13x + 42 = (x - 6)(x - 7)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 13^2 - 4 \cdot 42 = 169 - 168 = 1$. $\sqrt{D} = 1$. $x = \dfrac{13 \pm 1}{2}$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 12x + 35 = 0$, tāpēc $p = -12$, $q = 35$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $12$ un reizinājumā $35$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $35$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 35 = 35$ (summa $36$),
$5 \cdot 7 = 35$ (summa $12$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 5$, $x_2 = 7$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 5$:   $5^2 - 12 \cdot 5 + 35 = 25 - 60 + 35 = 0$ ✓
$x = 7$:   $7^2 - 12 \cdot 7 + 35 = 49 - 84 + 35 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -5, x_2 = -7$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-5) + (-7) = -12$, kas neatbilst saknes summai $12$.
• $x_1 = 6, x_2 = 8$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $14$ un reizinājums $48$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($12$ un $35$).
• $x_1 = 5, x_2 = 9$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 12x + 35 = (x - 5)(x - 7)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 12^2 - 4 \cdot 35 = 144 - 140 = 4$. $\sqrt{D} = 2$. $x = \dfrac{12 \pm 2}{2}$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 8x + 7 = 0$, tāpēc $p = -8$, $q = 7$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $8$ un reizinājumā $7$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $7$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 7 = 7$ (summa $8$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 1$:   $1^2 - 8 \cdot 1 + 7 = 1 - 8 + 7 = 0$ ✓
$x = 7$:   $7^2 - 8 \cdot 7 + 7 = 49 - 56 + 7 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -1, x_2 = -7$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-1) + (-7) = -8$, kas neatbilst saknes summai $8$.
• $x_1 = 2, x_2 = 8$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $10$ un reizinājums $16$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($8$ un $7$).
• $x_1 = 1, x_2 = 9$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 8^2 - 4 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$. $\sqrt{D} = 6$. $x = \dfrac{8 \pm 6}{2}$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 6x + 5 = 0$, tāpēc $p = -6$, $q = 5$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $6$ un reizinājumā $5$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $5$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 5 = 5$ (summa $6$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 1$:   $1^2 - 6 \cdot 1 + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$ ✓
$x = 5$:   $5^2 - 6 \cdot 5 + 5 = 25 - 30 + 5 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -1, x_2 = -5$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-1) + (-5) = -6$, kas neatbilst saknes summai $6$.
• $x_1 = 2, x_2 = 6$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $8$ un reizinājums $12$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($6$ un $5$).
• $x_1 = 1, x_2 = 7$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 6^2 - 4 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$. $\sqrt{D} = 4$. $x = \dfrac{6 \pm 4}{2}$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 12x + 32 = 0$, tāpēc $p = -12$, $q = 32$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $12$ un reizinājumā $32$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $32$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 32 = 32$ (summa $33$),
$2 \cdot 16 = 32$ (summa $18$),
$4 \cdot 8 = 32$ (summa $12$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 4$, $x_2 = 8$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 4$:   $4^2 - 12 \cdot 4 + 32 = 16 - 48 + 32 = 0$ ✓
$x = 8$:   $8^2 - 12 \cdot 8 + 32 = 64 - 96 + 32 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -4, x_2 = -8$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-4) + (-8) = -12$, kas neatbilst saknes summai $12$.
• $x_1 = 5, x_2 = 9$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $14$ un reizinājums $45$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($12$ un $32$).
• $x_1 = 4, x_2 = 10$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 12x + 32 = (x - 4)(x - 8)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 12^2 - 4 \cdot 32 = 144 - 128 = 16$. $\sqrt{D} = 4$. $x = \dfrac{12 \pm 4}{2}$.