Inversās funkcijas — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Inversās funkcijas definīcija. Ja $f$ pārveido $x$ uz $y$, tad $f^{-1}$ pārveido $y$ atpakaļ uz $x$. Tās "atritmo" viena otru: $f^{-1}(f(x)) = x$.

2. Algoritma trīs soļi.
1) Pieraksti $y = f(x)$.
2) Apmaini $x$ un $y$ vietām.
3) Izsaki jauno $y$ caur jauno $x$.

3. Pielieto. $f(x) = 2x - 1$.
1) $y = 2x - 1$.
2) Apmaina: $x = 2y - 1$.
3) Izsaki $y$:
   $2y = x + 1$
   $y = \dfrac{x + 1}{2}$

4. Atbilde. $f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\frac{1}{2x - 1}$ — skolēns sajaucis inverso funkciju ($f^{-1}$) ar funkcijas reciproku ($\frac{1}{f(x)}$). Tās ir PILNĪGI dažādas operācijas.
• $2x + 1$ — skolēns apgriezis tikai zīmi pie konstantes, bet aizmirsis dalīt ar $a$. Inversajai funkcijai jārada $x$ no $f(x)$ — tas prasa abas operācijas.
• $\frac{x - 1}{2}$ — skolēns dalījis ar $a$ (pareizi), bet AIZMIRSIS apgriezt zīmi pie konstantes. Pārvietojot konstanti no vienas puses uz otru, zīme mainās.

6. Pārbaude. Ņem konkrētu $x$, piem., $x = 0$:
$f(0) = 2 \cdot 0 - 1 = -1$.
$f^{-1}(-1) = \dfrac{-1 + 1}{2} = \dfrac{0}{2} = 0$ ✓

7. Grafiska interpretācija. Inversās funkcijas grafiks ir oriģinālā SIMETRISKS attiecībā pret taisni $y = x$. Ja $f$ punkts ir $(a, b)$, tad $f^{-1}$ punkts ir $(b, a)$.

Atrisinājums:
1. Inversās funkcijas definīcija. Ja $f$ pārveido $x$ uz $y$, tad $f^{-1}$ pārveido $y$ atpakaļ uz $x$. Tās "atritmo" viena otru: $f^{-1}(f(x)) = x$.

2. Algoritma trīs soļi.
1) Pieraksti $y = f(x)$.
2) Apmaini $x$ un $y$ vietām.
3) Izsaki jauno $y$ caur jauno $x$.

3. Pielieto. $f(x) = 3x + 5$.
1) $y = 3x + 5$.
2) Apmaina: $x = 3y + 5$.
3) Izsaki $y$:
   $3y = x - 5$
   $y = \dfrac{x - 5}{3}$

4. Atbilde. $f^{-1}(x) = \frac{x - 5}{3}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\frac{1}{3x + 5}$ — skolēns sajaucis inverso funkciju ($f^{-1}$) ar funkcijas reciproku ($\frac{1}{f(x)}$). Tās ir PILNĪGI dažādas operācijas.
• $3x - 5$ — skolēns apgriezis tikai zīmi pie konstantes, bet aizmirsis dalīt ar $a$. Inversajai funkcijai jārada $x$ no $f(x)$ — tas prasa abas operācijas.
• $\frac{x + 5}{3}$ — skolēns dalījis ar $a$ (pareizi), bet AIZMIRSIS apgriezt zīmi pie konstantes. Pārvietojot konstanti no vienas puses uz otru, zīme mainās.

6. Pārbaude. Ņem konkrētu $x$, piem., $x = 0$:
$f(0) = 3 \cdot 0 + 5 = 5$.
$f^{-1}(5) = \dfrac{5 - 5}{3} = \dfrac{0}{3} = 0$ ✓

7. Grafiska interpretācija. Inversās funkcijas grafiks ir oriģinālā SIMETRISKS attiecībā pret taisni $y = x$. Ja $f$ punkts ir $(a, b)$, tad $f^{-1}$ punkts ir $(b, a)$.

Atrisinājums:
1. Inversās funkcijas definīcija. Ja $f$ pārveido $x$ uz $y$, tad $f^{-1}$ pārveido $y$ atpakaļ uz $x$. Tās "atritmo" viena otru: $f^{-1}(f(x)) = x$.

2. Algoritma trīs soļi.
1) Pieraksti $y = f(x)$.
2) Apmaini $x$ un $y$ vietām.
3) Izsaki jauno $y$ caur jauno $x$.

3. Pielieto. $f(x) = 5x - 3$.
1) $y = 5x - 3$.
2) Apmaina: $x = 5y - 3$.
3) Izsaki $y$:
   $5y = x + 3$
   $y = \dfrac{x + 3}{5}$

4. Atbilde. $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{5}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\frac{1}{5x - 3}$ — skolēns sajaucis inverso funkciju ($f^{-1}$) ar funkcijas reciproku ($\frac{1}{f(x)}$). Tās ir PILNĪGI dažādas operācijas.
• $5x + 3$ — skolēns apgriezis tikai zīmi pie konstantes, bet aizmirsis dalīt ar $a$. Inversajai funkcijai jārada $x$ no $f(x)$ — tas prasa abas operācijas.
• $\frac{x - 3}{5}$ — skolēns dalījis ar $a$ (pareizi), bet AIZMIRSIS apgriezt zīmi pie konstantes. Pārvietojot konstanti no vienas puses uz otru, zīme mainās.

6. Pārbaude. Ņem konkrētu $x$, piem., $x = 0$:
$f(0) = 5 \cdot 0 - 3 = -3$.
$f^{-1}(-3) = \dfrac{-3 + 3}{5} = \dfrac{0}{5} = 0$ ✓

7. Grafiska interpretācija. Inversās funkcijas grafiks ir oriģinālā SIMETRISKS attiecībā pret taisni $y = x$. Ja $f$ punkts ir $(a, b)$, tad $f^{-1}$ punkts ir $(b, a)$.

Atrisinājums:
1. Inversās funkcijas definīcija. Ja $f$ pārveido $x$ uz $y$, tad $f^{-1}$ pārveido $y$ atpakaļ uz $x$. Tās "atritmo" viena otru: $f^{-1}(f(x)) = x$.

2. Algoritma trīs soļi.
1) Pieraksti $y = f(x)$.
2) Apmaini $x$ un $y$ vietām.
3) Izsaki jauno $y$ caur jauno $x$.

3. Pielieto. $f(x) = 5x + 3$.
1) $y = 5x + 3$.
2) Apmaina: $x = 5y + 3$.
3) Izsaki $y$:
   $5y = x - 3$
   $y = \dfrac{x - 3}{5}$

4. Atbilde. $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{5}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\frac{1}{5x + 3}$ — skolēns sajaucis inverso funkciju ($f^{-1}$) ar funkcijas reciproku ($\frac{1}{f(x)}$). Tās ir PILNĪGI dažādas operācijas.
• $5x - 3$ — skolēns apgriezis tikai zīmi pie konstantes, bet aizmirsis dalīt ar $a$. Inversajai funkcijai jārada $x$ no $f(x)$ — tas prasa abas operācijas.
• $\frac{x + 3}{5}$ — skolēns dalījis ar $a$ (pareizi), bet AIZMIRSIS apgriezt zīmi pie konstantes. Pārvietojot konstanti no vienas puses uz otru, zīme mainās.

6. Pārbaude. Ņem konkrētu $x$, piem., $x = 0$:
$f(0) = 5 \cdot 0 + 3 = 3$.
$f^{-1}(3) = \dfrac{3 - 3}{5} = \dfrac{0}{5} = 0$ ✓

7. Grafiska interpretācija. Inversās funkcijas grafiks ir oriģinālā SIMETRISKS attiecībā pret taisni $y = x$. Ja $f$ punkts ir $(a, b)$, tad $f^{-1}$ punkts ir $(b, a)$.

Atrisinājums:
1. Inversās funkcijas definīcija. Ja $f$ pārveido $x$ uz $y$, tad $f^{-1}$ pārveido $y$ atpakaļ uz $x$. Tās "atritmo" viena otru: $f^{-1}(f(x)) = x$.

2. Algoritma trīs soļi.
1) Pieraksti $y = f(x)$.
2) Apmaini $x$ un $y$ vietām.
3) Izsaki jauno $y$ caur jauno $x$.

3. Pielieto. $f(x) = 3x - 4$.
1) $y = 3x - 4$.
2) Apmaina: $x = 3y - 4$.
3) Izsaki $y$:
   $3y = x + 4$
   $y = \dfrac{x + 4}{3}$

4. Atbilde. $f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\frac{1}{3x - 4}$ — skolēns sajaucis inverso funkciju ($f^{-1}$) ar funkcijas reciproku ($\frac{1}{f(x)}$). Tās ir PILNĪGI dažādas operācijas.
• $3x + 4$ — skolēns apgriezis tikai zīmi pie konstantes, bet aizmirsis dalīt ar $a$. Inversajai funkcijai jārada $x$ no $f(x)$ — tas prasa abas operācijas.
• $\frac{x - 4}{3}$ — skolēns dalījis ar $a$ (pareizi), bet AIZMIRSIS apgriezt zīmi pie konstantes. Pārvietojot konstanti no vienas puses uz otru, zīme mainās.

6. Pārbaude. Ņem konkrētu $x$, piem., $x = 0$:
$f(0) = 3 \cdot 0 - 4 = -4$.
$f^{-1}(-4) = \dfrac{-4 + 4}{3} = \dfrac{0}{3} = 0$ ✓

7. Grafiska interpretācija. Inversās funkcijas grafiks ir oriģinālā SIMETRISKS attiecībā pret taisni $y = x$. Ja $f$ punkts ir $(a, b)$, tad $f^{-1}$ punkts ir $(b, a)$.

Atrisinājums:
1. Inversās funkcijas definīcija. Ja $f$ pārveido $x$ uz $y$, tad $f^{-1}$ pārveido $y$ atpakaļ uz $x$. Tās "atritmo" viena otru: $f^{-1}(f(x)) = x$.

2. Algoritma trīs soļi.
1) Pieraksti $y = f(x)$.
2) Apmaini $x$ un $y$ vietām.
3) Izsaki jauno $y$ caur jauno $x$.

3. Pielieto. $f(x) = 4x + 2$.
1) $y = 4x + 2$.
2) Apmaina: $x = 4y + 2$.
3) Izsaki $y$:
   $4y = x - 2$
   $y = \dfrac{x - 2}{4}$

4. Atbilde. $f^{-1}(x) = \frac{x - 2}{4}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\frac{1}{4x + 2}$ — skolēns sajaucis inverso funkciju ($f^{-1}$) ar funkcijas reciproku ($\frac{1}{f(x)}$). Tās ir PILNĪGI dažādas operācijas.
• $4x - 2$ — skolēns apgriezis tikai zīmi pie konstantes, bet aizmirsis dalīt ar $a$. Inversajai funkcijai jārada $x$ no $f(x)$ — tas prasa abas operācijas.
• $\frac{x + 2}{4}$ — skolēns dalījis ar $a$ (pareizi), bet AIZMIRSIS apgriezt zīmi pie konstantes. Pārvietojot konstanti no vienas puses uz otru, zīme mainās.

6. Pārbaude. Ņem konkrētu $x$, piem., $x = 0$:
$f(0) = 4 \cdot 0 + 2 = 2$.
$f^{-1}(2) = \dfrac{2 - 2}{4} = \dfrac{0}{4} = 0$ ✓

7. Grafiska interpretācija. Inversās funkcijas grafiks ir oriģinālā SIMETRISKS attiecībā pret taisni $y = x$. Ja $f$ punkts ir $(a, b)$, tad $f^{-1}$ punkts ir $(b, a)$.

Atrisinājums:
1. Inversās funkcijas definīcija. Ja $f$ pārveido $x$ uz $y$, tad $f^{-1}$ pārveido $y$ atpakaļ uz $x$. Tās "atritmo" viena otru: $f^{-1}(f(x)) = x$.

2. Algoritma trīs soļi.
1) Pieraksti $y = f(x)$.
2) Apmaini $x$ un $y$ vietām.
3) Izsaki jauno $y$ caur jauno $x$.

3. Pielieto. $f(x) = 5x - 1$.
1) $y = 5x - 1$.
2) Apmaina: $x = 5y - 1$.
3) Izsaki $y$:
   $5y = x + 1$
   $y = \dfrac{x + 1}{5}$

4. Atbilde. $f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{5}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\frac{1}{5x - 1}$ — skolēns sajaucis inverso funkciju ($f^{-1}$) ar funkcijas reciproku ($\frac{1}{f(x)}$). Tās ir PILNĪGI dažādas operācijas.
• $5x + 1$ — skolēns apgriezis tikai zīmi pie konstantes, bet aizmirsis dalīt ar $a$. Inversajai funkcijai jārada $x$ no $f(x)$ — tas prasa abas operācijas.
• $\frac{x - 1}{5}$ — skolēns dalījis ar $a$ (pareizi), bet AIZMIRSIS apgriezt zīmi pie konstantes. Pārvietojot konstanti no vienas puses uz otru, zīme mainās.

6. Pārbaude. Ņem konkrētu $x$, piem., $x = 0$:
$f(0) = 5 \cdot 0 - 1 = -1$.
$f^{-1}(-1) = \dfrac{-1 + 1}{5} = \dfrac{0}{5} = 0$ ✓

7. Grafiska interpretācija. Inversās funkcijas grafiks ir oriģinālā SIMETRISKS attiecībā pret taisni $y = x$. Ja $f$ punkts ir $(a, b)$, tad $f^{-1}$ punkts ir $(b, a)$.

Atrisinājums:
1. Inversās funkcijas definīcija. Ja $f$ pārveido $x$ uz $y$, tad $f^{-1}$ pārveido $y$ atpakaļ uz $x$. Tās "atritmo" viena otru: $f^{-1}(f(x)) = x$.

2. Algoritma trīs soļi.
1) Pieraksti $y = f(x)$.
2) Apmaini $x$ un $y$ vietām.
3) Izsaki jauno $y$ caur jauno $x$.

3. Pielieto. $f(x) = 2x - 5$.
1) $y = 2x - 5$.
2) Apmaina: $x = 2y - 5$.
3) Izsaki $y$:
   $2y = x + 5$
   $y = \dfrac{x + 5}{2}$

4. Atbilde. $f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{2}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\frac{1}{2x - 5}$ — skolēns sajaucis inverso funkciju ($f^{-1}$) ar funkcijas reciproku ($\frac{1}{f(x)}$). Tās ir PILNĪGI dažādas operācijas.
• $2x + 5$ — skolēns apgriezis tikai zīmi pie konstantes, bet aizmirsis dalīt ar $a$. Inversajai funkcijai jārada $x$ no $f(x)$ — tas prasa abas operācijas.
• $\frac{x - 5}{2}$ — skolēns dalījis ar $a$ (pareizi), bet AIZMIRSIS apgriezt zīmi pie konstantes. Pārvietojot konstanti no vienas puses uz otru, zīme mainās.

6. Pārbaude. Ņem konkrētu $x$, piem., $x = 0$:
$f(0) = 2 \cdot 0 - 5 = -5$.
$f^{-1}(-5) = \dfrac{-5 + 5}{2} = \dfrac{0}{2} = 0$ ✓

7. Grafiska interpretācija. Inversās funkcijas grafiks ir oriģinālā SIMETRISKS attiecībā pret taisni $y = x$. Ja $f$ punkts ir $(a, b)$, tad $f^{-1}$ punkts ir $(b, a)$.

Atrisinājums:
1. Inversās funkcijas definīcija. Ja $f$ pārveido $x$ uz $y$, tad $f^{-1}$ pārveido $y$ atpakaļ uz $x$. Tās "atritmo" viena otru: $f^{-1}(f(x)) = x$.

2. Algoritma trīs soļi.
1) Pieraksti $y = f(x)$.
2) Apmaini $x$ un $y$ vietām.
3) Izsaki jauno $y$ caur jauno $x$.

3. Pielieto. $f(x) = 4x - 3$.
1) $y = 4x - 3$.
2) Apmaina: $x = 4y - 3$.
3) Izsaki $y$:
   $4y = x + 3$
   $y = \dfrac{x + 3}{4}$

4. Atbilde. $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{4}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\frac{1}{4x - 3}$ — skolēns sajaucis inverso funkciju ($f^{-1}$) ar funkcijas reciproku ($\frac{1}{f(x)}$). Tās ir PILNĪGI dažādas operācijas.
• $4x + 3$ — skolēns apgriezis tikai zīmi pie konstantes, bet aizmirsis dalīt ar $a$. Inversajai funkcijai jārada $x$ no $f(x)$ — tas prasa abas operācijas.
• $\frac{x - 3}{4}$ — skolēns dalījis ar $a$ (pareizi), bet AIZMIRSIS apgriezt zīmi pie konstantes. Pārvietojot konstanti no vienas puses uz otru, zīme mainās.

6. Pārbaude. Ņem konkrētu $x$, piem., $x = 0$:
$f(0) = 4 \cdot 0 - 3 = -3$.
$f^{-1}(-3) = \dfrac{-3 + 3}{4} = \dfrac{0}{4} = 0$ ✓

7. Grafiska interpretācija. Inversās funkcijas grafiks ir oriģinālā SIMETRISKS attiecībā pret taisni $y = x$. Ja $f$ punkts ir $(a, b)$, tad $f^{-1}$ punkts ir $(b, a)$.

Atrisinājums:
1. Inversās funkcijas definīcija. Ja $f$ pārveido $x$ uz $y$, tad $f^{-1}$ pārveido $y$ atpakaļ uz $x$. Tās "atritmo" viena otru: $f^{-1}(f(x)) = x$.

2. Algoritma trīs soļi.
1) Pieraksti $y = f(x)$.
2) Apmaini $x$ un $y$ vietām.
3) Izsaki jauno $y$ caur jauno $x$.

3. Pielieto. $f(x) = 4x + 5$.
1) $y = 4x + 5$.
2) Apmaina: $x = 4y + 5$.
3) Izsaki $y$:
   $4y = x - 5$
   $y = \dfrac{x - 5}{4}$

4. Atbilde. $f^{-1}(x) = \frac{x - 5}{4}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\frac{1}{4x + 5}$ — skolēns sajaucis inverso funkciju ($f^{-1}$) ar funkcijas reciproku ($\frac{1}{f(x)}$). Tās ir PILNĪGI dažādas operācijas.
• $4x - 5$ — skolēns apgriezis tikai zīmi pie konstantes, bet aizmirsis dalīt ar $a$. Inversajai funkcijai jārada $x$ no $f(x)$ — tas prasa abas operācijas.
• $\frac{x + 5}{4}$ — skolēns dalījis ar $a$ (pareizi), bet AIZMIRSIS apgriezt zīmi pie konstantes. Pārvietojot konstanti no vienas puses uz otru, zīme mainās.

6. Pārbaude. Ņem konkrētu $x$, piem., $x = 0$:
$f(0) = 4 \cdot 0 + 5 = 5$.
$f^{-1}(5) = \dfrac{5 - 5}{4} = \dfrac{0}{4} = 0$ ✓

7. Grafiska interpretācija. Inversās funkcijas grafiks ir oriģinālā SIMETRISKS attiecībā pret taisni $y = x$. Ja $f$ punkts ir $(a, b)$, tad $f^{-1}$ punkts ir $(b, a)$.