Atrisinājums: 1. Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija. Virkne ar $|q| < 1$, kuras locekļi kļūst arvien mazāki un summā tuvojas konkrētai vērtībai.
6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\frac{7}{3}$ — dalīts ar $q$, nevis ar $(1 - q)$. • $10$ — saskaitīts $b_1$ ar saucēju; formulā ir dalīšana, ne saskaitīšana. • $7$ — paņemts tikai PIRMAIS loceklis; summa ietver bezgalīgi daudz locekļu. 7. Pārbaude — daļējās summas. $b_1 = 7$, $b_1 + b_2 = \frac{28}{3}$, ... Visu pirmo locekļu summa pakāpeniski tuvojas $\frac{21}{2}$ ✓
8. Bieža kļūda. Pārbaudi $|q| < 1$ — ja $|q| \geq 1$, summa nav galīga (locekļi neatpazīstami pieaug).
2. uzdevums
Bezgalīga ģeometriskā progresija ar $b_1 = 3$ un $q = \dfrac{1}{3}$. Atrast summu $S$.
A) $6$
B) $1$
C) $9$
D) $\frac{9}{2}$
Pareizā atbilde: D) $\frac{9}{2}$
Atrisinājums: 1. Bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas koncepts. Tā ir progresija ar $|q| < 1$, kur locekļi kļūst arvien mazāki ($b_1, b_1 q, b_1 q^2, \ldots$). Lai gan locekļu ir BEZGALĪGI daudz, to summa konverģē uz konkrētu galīgu vērtību.
2. Kāpēc summa konverģē? Galīgās summas formula ir $S_n = \dfrac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Kad $|q| < 1$ un $n \to \infty$: $q^n \to 0$ (locekļi tik mazi, ka pazūd). Tāpēc:
$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \dfrac{b_1(1 - 0)}{1 - q} = \dfrac{b_1}{1 - q}$
Atrisinājums: 1. Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija. Virkne ar $|q| < 1$, kuras locekļi kļūst arvien mazāki un summā tuvojas konkrētai vērtībai.
6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $3$ — paņemts tikai PIRMAIS loceklis; summa ietver bezgalīgi daudz locekļu. • $\frac{1}{2}$ — saucējā lietots $1 + q$, nevis $1 - q$. • $\frac{3}{4}$ — aizmirsta reizināšana ar saucēju. 7. Pārbaude — daļējās summas. $b_1 = 3$, $b_1 + b_2 = \frac{18}{5}$, ... Visu pirmo locekļu summa pakāpeniski tuvojas $\frac{15}{4}$ ✓
8. Bieža kļūda. Pārbaudi $|q| < 1$ — ja $|q| \geq 1$, summa nav galīga (locekļi neatpazīstami pieaug).
4. uzdevums
Bezgalīga ģeometriskā progresija ar $b_1 = 2$ un $q = \dfrac{1}{3}$. Atrast summu $S$.
A) $3$
B) $5$
C) $\frac{2}{3}$
D) $6$
Pareizā atbilde: A) $3$
Atrisinājums: 1. Bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas koncepts. Tā ir progresija ar $|q| < 1$, kur locekļi kļūst arvien mazāki ($b_1, b_1 q, b_1 q^2, \ldots$). Lai gan locekļu ir BEZGALĪGI daudz, to summa konverģē uz konkrētu galīgu vērtību.
2. Kāpēc summa konverģē? Galīgās summas formula ir $S_n = \dfrac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Kad $|q| < 1$ un $n \to \infty$: $q^n \to 0$ (locekļi tik mazi, ka pazūd). Tāpēc:
$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \dfrac{b_1(1 - 0)}{1 - q} = \dfrac{b_1}{1 - q}$
Atrisinājums: 1. Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija. Virkne ar $|q| < 1$, kuras locekļi kļūst arvien mazāki un summā tuvojas konkrētai vērtībai.
6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $1$ — aizmirsta reizināšana ar saucēju. • $3$ — paņemts tikai PIRMAIS loceklis; summa ietver bezgalīgi daudz locekļu. • $9$ — pirmais loceklis kāpināts kvadrātā. 7. Pārbaude — daļējās summas. $b_1 = 3$, $b_1 + b_2 = \frac{15}{4}$, ... Visu pirmo locekļu summa pakāpeniski tuvojas $4$ ✓
8. Bieža kļūda. Pārbaudi $|q| < 1$ — ja $|q| \geq 1$, summa nav galīga (locekļi neatpazīstami pieaug).
6. uzdevums
Bezgalīga ģeometriskā progresija ar $b_1 = 7$ un $q = \dfrac{1}{4}$. Atrast summu $S$.
A) $11$
B) $28$
C) $\frac{7}{4}$
D) $\frac{28}{3}$
Pareizā atbilde: D) $\frac{28}{3}$
Atrisinājums: 1. Bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas koncepts. Tā ir progresija ar $|q| < 1$, kur locekļi kļūst arvien mazāki ($b_1, b_1 q, b_1 q^2, \ldots$). Lai gan locekļu ir BEZGALĪGI daudz, to summa konverģē uz konkrētu galīgu vērtību.
2. Kāpēc summa konverģē? Galīgās summas formula ir $S_n = \dfrac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Kad $|q| < 1$ un $n \to \infty$: $q^n \to 0$ (locekļi tik mazi, ka pazūd). Tāpēc:
$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \dfrac{b_1(1 - 0)}{1 - q} = \dfrac{b_1}{1 - q}$
Atrisinājums: 1. Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija. Virkne ar $|q| < 1$, kuras locekļi kļūst arvien mazāki un summā tuvojas konkrētai vērtībai.
Atrisinājums: 1. Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija. Virkne ar $|q| < 1$, kuras locekļi kļūst arvien mazāki un summā tuvojas konkrētai vērtībai.
6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\frac{1}{3}$ — saucējā lietots $1 + q$, nevis $1 - q$. • $4$ — pirmais loceklis kāpināts kvadrātā. • $7$ — saskaitīts $b_1$ ar saucēju; formulā ir dalīšana, ne saskaitīšana. 7. Pārbaude — daļējās summas. $b_1 = 2$, $b_1 + b_2 = \frac{12}{5}$, ... Visu pirmo locekļu summa pakāpeniski tuvojas $\frac{5}{2}$ ✓
8. Bieža kļūda. Pārbaudi $|q| < 1$ — ja $|q| \geq 1$, summa nav galīga (locekļi neatpazīstami pieaug).
9. uzdevums
Bezgalīga ģeometriskā progresija ar $b_1 = 8$ un $q = \dfrac{1}{3}$. Atrast summu $S$.
A) $\frac{8}{3}$
B) $12$
C) $11$
D) $24$
Pareizā atbilde: B) $12$
Atrisinājums: 1. Bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas koncepts. Tā ir progresija ar $|q| < 1$, kur locekļi kļūst arvien mazāki ($b_1, b_1 q, b_1 q^2, \ldots$). Lai gan locekļu ir BEZGALĪGI daudz, to summa konverģē uz konkrētu galīgu vērtību.
2. Kāpēc summa konverģē? Galīgās summas formula ir $S_n = \dfrac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Kad $|q| < 1$ un $n \to \infty$: $q^n \to 0$ (locekļi tik mazi, ka pazūd). Tāpēc:
$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \dfrac{b_1(1 - 0)}{1 - q} = \dfrac{b_1}{1 - q}$
Atrisinājums: 1. Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija. Virkne ar $|q| < 1$, kuras locekļi kļūst arvien mazāki un summā tuvojas konkrētai vērtībai.
6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $7$ — paņemts tikai PIRMAIS loceklis; summa ietver bezgalīgi daudz locekļu. • $\frac{7}{5}$ — saucējā lietots $1 + q$, nevis $1 - q$. • $28$ — reizināts ar $4$, nevis dalīts ar $(1 - q)$. 7. Pārbaude — daļējās summas. $b_1 = 7$, $b_1 + b_2 = \frac{35}{4}$, ... Visu pirmo locekļu summa pakāpeniski tuvojas $\frac{28}{3}$ ✓
8. Bieža kļūda. Pārbaudi $|q| < 1$ — ja $|q| \geq 1$, summa nav galīga (locekļi neatpazīstami pieaug).