Atvasinājumi — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma pamatkārtulas.
• $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ (pakāpes)
• $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ (konstante "iznāk")
• $(f + g)' = f' + g'$ (summa)
• $(c)' = 0$ (konstante)

2. Pielieto katram loceklim. Funkcija $f(x) = 4x^{4} + 3x^{2} + -4$.

3. Atvasini katru locekli.
$(4x^{4})' = 4 \cdot 4 \cdot x^{3} = 16x^{3}$
$(3x^{2})' = 3 \cdot 2 \cdot x^{1} = 6x^{1}$
$(-4)' = 0$

4. Saliec kopā.
$f'(x) = 16x^{3} + 6x^{1}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $4x^{3} + 3x^{1}$ — skolēns samazinājis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS iznest pakāpi kā reizinātāju ($n$). Pareizais ir $a \cdot n \cdot x^{n-1}$, ne tikai $a \cdot x^{n-1}$.
• $16x^{4} + 6x^{2}$ — skolēns iznesis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS samazināt pakāpi par 1. Atvasinājuma pakāpe vienmēr ir par 1 mazāka nekā oriģinālā.
• $4x^{5} + 3x^{3}$ — skolēns sajaucis atvasinājumu ar integrāli (palielinājis pakāpi par 1, ne samazinājis). Šī ir tipiska kļūda, sajaucot abus operācijas.

6. Bieža kļūda — pakāpes nemazināšana. $(x^n)' \ne nx^n$, bet $nx^{n-1}$. Pakāpe samazinās par 1.

7. Atmiņas palīgs. "Iznes pakāpi pirms, samazini par 1". Piem., $(x^5)' = 5x^4$.

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma vērtība punktā. Tas ir tangentes slīpums funkcijas grafikā punktā $x_0$.

2. Stratēģija — divsoli ar summas likumu. Polinomam vispirms atvasini KATRU locekli atsevišķi (summas likums), tad ievieto $x_0$.

3. Solis 1 — atrod $f'(x)$. Pielieto pakāpes likumu $(x^n)' = nx^{n-1}$ katram loceklim:
$(2x^{3})' = 2 \cdot 3 \cdot x^{2} = 6x^{2}$
$(2x^{2})' = 4x$
$f'(x) = 6x^{2} + 4x^{1}$

4. Solis 2 — ievieto $x = 2$.
$f'(2) = 6 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2^{1}$
$= 24 + 8 = 32$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $10$ — ievietots $x = 1$, nevis $x = 2$; tā ir koeficientu summa.
• $24$ — nav atvasināts vispār, tikai ievietots $x = 2$ sākotnējā funkcijā.
• $34$ — aprēķina kļūda; $f'(2) = 32$.
6. Ģeometriskā interpretācija. Tangentes slīpums grafikam punktā $x = 2$ ir $32$.

7. Bieža kļūda. Ievietot $x_0$ TIEŠI funkcijā, nevis atvasinājumā.

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma pamatkārtulas.
• $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ (pakāpes)
• $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ (konstante "iznāk")
• $(f + g)' = f' + g'$ (summa)
• $(c)' = 0$ (konstante)

2. Pielieto katram loceklim. Funkcija $f(x) = 3x^{3} + 4x + 3$.

3. Atvasini katru locekli.
$(3x^{3})' = 3 \cdot 3 \cdot x^{2} = 9x^{2}$
$(4x)' = 4 \cdot 1 = 4$
$(3)' = 0$

4. Saliec kopā.
$f'(x) = 9x^{2} + 4$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $3x^{2} + 4$ — skolēns samazinājis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS iznest pakāpi kā reizinātāju ($n$). Pareizais ir $a \cdot n \cdot x^{n-1}$, ne tikai $a \cdot x^{n-1}$.
• $9x^{3} + 4$ — skolēns iznesis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS samazināt pakāpi par 1. Atvasinājuma pakāpe vienmēr ir par 1 mazāka nekā oriģinālā.
• $3x^{4} + 4x^{2}$ — skolēns sajaucis atvasinājumu ar integrāli (palielinājis pakāpi par 1, ne samazinājis). Šī ir tipiska kļūda, sajaucot abus operācijas.

6. Bieža kļūda — pakāpes nemazināšana. $(x^n)' \ne nx^n$, bet $nx^{n-1}$. Pakāpe samazinās par 1.

7. Atmiņas palīgs. "Iznes pakāpi pirms, samazini par 1". Piem., $(x^5)' = 5x^4$.

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma vērtība punktā. Tas ir tangentes slīpums funkcijas grafikā punktā $x_0$.

2. Stratēģija — divsoli ar summas likumu. Polinomam vispirms atvasini KATRU locekli atsevišķi (summas likums), tad ievieto $x_0$.

3. Solis 1 — atrod $f'(x)$. Pielieto pakāpes likumu $(x^n)' = nx^{n-1}$ katram loceklim:
$(3x^{2})' = 3 \cdot 2 \cdot x^{1} = 6x$
$(3x)' = 3$
$f'(x) = 6x + 3$

4. Solis 2 — ievieto $x = 4$.
$f'(4) = 6 \cdot 4^{1} + 3$
$= 24 + 3 = 27$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $15$ — aizmirsts IZNEST pakāpi kā reizinātāju; pazaudēts $n$ un $m$.
• $60$ — nav atvasināts vispār, tikai ievietots $x = 4$ sākotnējā funkcijā.
• $30$ — aprēķina kļūda; $f'(4) = 27$.
6. Ģeometriskā interpretācija. Tangentes slīpums grafikam punktā $x = 4$ ir $27$.

7. Bieža kļūda. Ievietot $x_0$ TIEŠI funkcijā, nevis atvasinājumā.

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma pamatkārtulas.
• $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ (pakāpes)
• $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ (konstante "iznāk")
• $(f + g)' = f' + g'$ (summa)
• $(c)' = 0$ (konstante)

2. Pielieto katram loceklim. Funkcija $f(x) = 5x^{2} + 4x + -1$.

3. Atvasini katru locekli.
$(5x^{2})' = 5 \cdot 2 \cdot x^{1} = 10x^{1}$
$(4x)' = 4 \cdot 1 = 4$
$(-1)' = 0$

4. Saliec kopā.
$f'(x) = 10x^{1} + 4$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $5x^{1} + 4$ — skolēns samazinājis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS iznest pakāpi kā reizinātāju ($n$). Pareizais ir $a \cdot n \cdot x^{n-1}$, ne tikai $a \cdot x^{n-1}$.
• $10x^{2} + 4$ — skolēns iznesis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS samazināt pakāpi par 1. Atvasinājuma pakāpe vienmēr ir par 1 mazāka nekā oriģinālā.
• $5x^{3} + 4x^{2}$ — skolēns sajaucis atvasinājumu ar integrāli (palielinājis pakāpi par 1, ne samazinājis). Šī ir tipiska kļūda, sajaucot abus operācijas.

6. Bieža kļūda — pakāpes nemazināšana. $(x^n)' \ne nx^n$, bet $nx^{n-1}$. Pakāpe samazinās par 1.

7. Atmiņas palīgs. "Iznes pakāpi pirms, samazini par 1". Piem., $(x^5)' = 5x^4$.

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma vērtība punktā. Tas ir tangentes slīpums funkcijas grafikā punktā $x_0$.

2. Stratēģija — divsoli ar summas likumu. Polinomam vispirms atvasini KATRU locekli atsevišķi (summas likums), tad ievieto $x_0$.

3. Solis 1 — atrod $f'(x)$. Pielieto pakāpes likumu $(x^n)' = nx^{n-1}$ katram loceklim:
$(3x^{2})' = 3 \cdot 2 \cdot x^{1} = 6x$
$(2x)' = 2$
$f'(x) = 6x + 2$

4. Solis 2 — ievieto $x = 3$.
$f'(3) = 6 \cdot 3^{1} + 2$
$= 18 + 2 = 20$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $8$ — ievietots $x = 1$, nevis $x = 3$; tā ir koeficientu summa.
• $23$ — aprēķina kļūda; $f'(3) = 20$.
• $33$ — nav atvasināts vispār, tikai ievietots $x = 3$ sākotnējā funkcijā.
6. Ģeometriskā interpretācija. Tangentes slīpums grafikam punktā $x = 3$ ir $20$.

7. Bieža kļūda. Ievietot $x_0$ TIEŠI funkcijā, nevis atvasinājumā.

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma pamatkārtulas.
• $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ (pakāpes)
• $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ (konstante "iznāk")
• $(f + g)' = f' + g'$ (summa)
• $(c)' = 0$ (konstante)

2. Pielieto katram loceklim. Funkcija $f(x) = 3x^{4} + 6x^{2} + -1$.

3. Atvasini katru locekli.
$(3x^{4})' = 3 \cdot 4 \cdot x^{3} = 12x^{3}$
$(6x^{2})' = 6 \cdot 2 \cdot x^{1} = 12x^{1}$
$(-1)' = 0$

4. Saliec kopā.
$f'(x) = 12x^{3} + 12x^{1}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $3x^{3} + 6x^{1}$ — skolēns samazinājis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS iznest pakāpi kā reizinātāju ($n$). Pareizais ir $a \cdot n \cdot x^{n-1}$, ne tikai $a \cdot x^{n-1}$.
• $12x^{4} + 12x^{2}$ — skolēns iznesis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS samazināt pakāpi par 1. Atvasinājuma pakāpe vienmēr ir par 1 mazāka nekā oriģinālā.
• $3x^{5} + 6x^{3}$ — skolēns sajaucis atvasinājumu ar integrāli (palielinājis pakāpi par 1, ne samazinājis). Šī ir tipiska kļūda, sajaucot abus operācijas.

6. Bieža kļūda — pakāpes nemazināšana. $(x^n)' \ne nx^n$, bet $nx^{n-1}$. Pakāpe samazinās par 1.

7. Atmiņas palīgs. "Iznes pakāpi pirms, samazini par 1". Piem., $(x^5)' = 5x^4$.

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma vērtība punktā. Tas ir tangentes slīpums funkcijas grafikā punktā $x_0$.

2. Stratēģija — divsoli ar summas likumu. Polinomam vispirms atvasini KATRU locekli atsevišķi (summas likums), tad ievieto $x_0$.

3. Solis 1 — atrod $f'(x)$. Pielieto pakāpes likumu $(x^n)' = nx^{n-1}$ katram loceklim:
$(3x^{3})' = 3 \cdot 3 \cdot x^{2} = 9x^{2}$
$(2x)' = 2$
$f'(x) = 9x^{2} + 2$

4. Solis 2 — ievieto $x = 4$.
$f'(4) = 9 \cdot 4^{2} + 2$
$= 144 + 2 = 146$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $200$ — nav atvasināts vispār, tikai ievietots $x = 4$ sākotnējā funkcijā.
• $292$ — aprēķina kļūda; $f'(4) = 146$.
• $149$ — aprēķina kļūda; $f'(4) = 146$.
6. Ģeometriskā interpretācija. Tangentes slīpums grafikam punktā $x = 4$ ir $146$.

7. Bieža kļūda. Ievietot $x_0$ TIEŠI funkcijā, nevis atvasinājumā.

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma pamatkārtulas.
• $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ (pakāpes)
• $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ (konstante "iznāk")
• $(f + g)' = f' + g'$ (summa)
• $(c)' = 0$ (konstante)

2. Pielieto katram loceklim. Funkcija $f(x) = 4x^{4} + 3x^{2} + 5$.

3. Atvasini katru locekli.
$(4x^{4})' = 4 \cdot 4 \cdot x^{3} = 16x^{3}$
$(3x^{2})' = 3 \cdot 2 \cdot x^{1} = 6x^{1}$
$(5)' = 0$

4. Saliec kopā.
$f'(x) = 16x^{3} + 6x^{1}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $4x^{3} + 3x^{1}$ — skolēns samazinājis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS iznest pakāpi kā reizinātāju ($n$). Pareizais ir $a \cdot n \cdot x^{n-1}$, ne tikai $a \cdot x^{n-1}$.
• $16x^{4} + 6x^{2}$ — skolēns iznesis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS samazināt pakāpi par 1. Atvasinājuma pakāpe vienmēr ir par 1 mazāka nekā oriģinālā.
• $4x^{5} + 3x^{3}$ — skolēns sajaucis atvasinājumu ar integrāli (palielinājis pakāpi par 1, ne samazinājis). Šī ir tipiska kļūda, sajaucot abus operācijas.

6. Bieža kļūda — pakāpes nemazināšana. $(x^n)' \ne nx^n$, bet $nx^{n-1}$. Pakāpe samazinās par 1.

7. Atmiņas palīgs. "Iznes pakāpi pirms, samazini par 1". Piem., $(x^5)' = 5x^4$.

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma vērtība punktā. Tas ir tangentes slīpums funkcijas grafikā punktā $x_0$.

2. Stratēģija — divsoli ar summas likumu. Polinomam vispirms atvasini KATRU locekli atsevišķi (summas likums), tad ievieto $x_0$.

3. Solis 1 — atrod $f'(x)$. Pielieto pakāpes likumu $(x^n)' = nx^{n-1}$ katram loceklim:
$(2x^{3})' = 2 \cdot 3 \cdot x^{2} = 6x^{2}$
$(5x)' = 5$
$f'(x) = 6x^{2} + 5$

4. Solis 2 — ievieto $x = 3$.
$f'(3) = 6 \cdot 3^{2} + 5$
$= 54 + 5 = 59$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $6$ — aprēķina kļūda; $f'(3) = 59$.
• $118$ — aprēķina kļūda; $f'(3) = 59$.
• $69$ — nav atvasināts vispār, tikai ievietots $x = 3$ sākotnējā funkcijā.
6. Ģeometriskā interpretācija. Tangentes slīpums grafikam punktā $x = 3$ ir $59$.

7. Bieža kļūda. Ievietot $x_0$ TIEŠI funkcijā, nevis atvasinājumā.