Apgrieztās trig. funkcijas — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Apgrieztās trig. funkcijas.
• $\arcsin x$ atgriež leņķi, kura sinuss ir $x$.
• $\arccos x$ atgriež leņķi, kura kosinuss ir $x$.

2. Vērtību apgabali (svarīgi!).
• $\arcsin: [-1; 1] \to [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
• $\arccos: [-1; 1] \to [0; \pi]$
Tāpēc atbilde vienmēr ir VIENĀ noteiktā intervālā, ne neierobežotā skaitā leņķu.

3. Mūsu uzdevums. $\arccos\left(\frac{1}{2}\right)$. Jautājums: kura leņķa kosinuss ir $\frac{1}{2}$?

4. No pamatvērtību tabulas. $\cos 60° = \frac{1}{2}$. Tāpēc $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60° = \frac{\pi}{3}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas — visi pārējie izvēles varianti ir $\arcsin$ vērtības vai citu pamatleņķu radiānu mēri:
• \frac{\pi}{6} — atbilst CITAM pamatleņķim. Skolēns lasījis tabulu pa nepareizu rindu vai sajaucis $\sin/\cos$ atbilstības.
• \frac{\pi}{4} — vēl viens citu leņķu radiānu mērs. Bieži skolēns aprēķina pretējās funkcijas vērtību: $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$ vietā $\arccos$.
• \frac{\pi}{2} — šī ir sajaukšana ar robežvērtībām (0, $\frac{\pi}{2}$). Atceries — tās atbilst tikai vērtībām $0$ un $1$.

6. Pārbaude. Ievietojam: $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ ✓

7. Bieža kļūda. Jautāt "kāds leņķis?" un atbildēt 30° vai 150° — abus, jo arī $\sin 150° = \frac{1}{2}$. Bet $\arcsin$ pēc DEFINĪCIJAS atgriež tikai $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ intervālā esošo leņķi.

Atrisinājums:
1. Apgrieztās trig. funkcijas.
• $\arcsin x$ atgriež leņķi, kura sinuss ir $x$.
• $\arccos x$ atgriež leņķi, kura kosinuss ir $x$.

2. Vērtību apgabali (svarīgi!).
• $\arcsin: [-1; 1] \to [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
• $\arccos: [-1; 1] \to [0; \pi]$
Tāpēc atbilde vienmēr ir VIENĀ noteiktā intervālā, ne neierobežotā skaitā leņķu.

3. Mūsu uzdevums. $\arcsin\left(0\right)$. Jautājums: kura leņķa sinuss ir $0$?

4. No pamatvērtību tabulas. $\sin 0° = 0$. Tāpēc $\arcsin\left(0\right) = 0° = 0$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas — visi pārējie izvēles varianti ir $\arccos$ vērtības vai citu pamatleņķu radiānu mēri:
• \frac{\pi}{6} — atbilst CITAM pamatleņķim. Skolēns lasījis tabulu pa nepareizu rindu vai sajaucis $\sin/\cos$ atbilstības.
• \frac{\pi}{4} — vēl viens citu leņķu radiānu mērs. Bieži skolēns aprēķina pretējās funkcijas vērtību: $\arccos\left(0\right)$ vietā $\arcsin$.
• \frac{\pi}{3} — šī ir sajaukšana ar robežvērtībām (0, $\frac{\pi}{2}$). Atceries — tās atbilst tikai vērtībām $0$ un $1$.

6. Pārbaude. Ievietojam: $\sin\left(0\right) = 0$ ✓

7. Bieža kļūda. Jautāt "kāds leņķis?" un atbildēt 30° vai 150° — abus, jo arī $\sin 150° = \frac{1}{2}$. Bet $\arcsin$ pēc DEFINĪCIJAS atgriež tikai $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ intervālā esošo leņķi.

Atrisinājums:
1. Apgrieztās trig. funkcijas.
• $\arcsin x$ atgriež leņķi, kura sinuss ir $x$.
• $\arccos x$ atgriež leņķi, kura kosinuss ir $x$.

2. Vērtību apgabali (svarīgi!).
• $\arcsin: [-1; 1] \to [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
• $\arccos: [-1; 1] \to [0; \pi]$
Tāpēc atbilde vienmēr ir VIENĀ noteiktā intervālā, ne neierobežotā skaitā leņķu.

3. Mūsu uzdevums. $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Jautājums: kura leņķa kosinuss ir $\frac{\sqrt{2}}{2}$?

4. No pamatvērtību tabulas. $\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Tāpēc $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45° = \frac{\pi}{4}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas — visi pārējie izvēles varianti ir $\arcsin$ vērtības vai citu pamatleņķu radiānu mēri:
• \frac{\pi}{6} — atbilst CITAM pamatleņķim. Skolēns lasījis tabulu pa nepareizu rindu vai sajaucis $\sin/\cos$ atbilstības.
• \frac{\pi}{3} — vēl viens citu leņķu radiānu mērs. Bieži skolēns aprēķina pretējās funkcijas vērtību: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ vietā $\arccos$.
• \frac{\pi}{2} — šī ir sajaukšana ar robežvērtībām (0, $\frac{\pi}{2}$). Atceries — tās atbilst tikai vērtībām $0$ un $1$.

6. Pārbaude. Ievietojam: $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓

7. Bieža kļūda. Jautāt "kāds leņķis?" un atbildēt 30° vai 150° — abus, jo arī $\sin 150° = \frac{1}{2}$. Bet $\arcsin$ pēc DEFINĪCIJAS atgriež tikai $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ intervālā esošo leņķi.

Atrisinājums:
1. Apgrieztās trig. funkcijas.
• $\arcsin x$ atgriež leņķi, kura sinuss ir $x$.
• $\arccos x$ atgriež leņķi, kura kosinuss ir $x$.

2. Vērtību apgabali (svarīgi!).
• $\arcsin: [-1; 1] \to [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
• $\arccos: [-1; 1] \to [0; \pi]$
Tāpēc atbilde vienmēr ir VIENĀ noteiktā intervālā, ne neierobežotā skaitā leņķu.

3. Mūsu uzdevums. $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Jautājums: kura leņķa sinuss ir $\frac{\sqrt{3}}{2}$?

4. No pamatvērtību tabulas. $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Tāpēc $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60° = \frac{\pi}{3}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas — visi pārējie izvēles varianti ir $\arccos$ vērtības vai citu pamatleņķu radiānu mēri:
• \frac{\pi}{6} — atbilst CITAM pamatleņķim. Skolēns lasījis tabulu pa nepareizu rindu vai sajaucis $\sin/\cos$ atbilstības.
• \frac{\pi}{4} — vēl viens citu leņķu radiānu mērs. Bieži skolēns aprēķina pretējās funkcijas vērtību: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ vietā $\arcsin$.
• \frac{\pi}{2} — šī ir sajaukšana ar robežvērtībām (0, $\frac{\pi}{2}$). Atceries — tās atbilst tikai vērtībām $0$ un $1$.

6. Pārbaude. Ievietojam: $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓

7. Bieža kļūda. Jautāt "kāds leņķis?" un atbildēt 30° vai 150° — abus, jo arī $\sin 150° = \frac{1}{2}$. Bet $\arcsin$ pēc DEFINĪCIJAS atgriež tikai $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ intervālā esošo leņķi.

Atrisinājums:
1. Apgrieztās trig. funkcijas.
• $\arcsin x$ atgriež leņķi, kura sinuss ir $x$.
• $\arccos x$ atgriež leņķi, kura kosinuss ir $x$.

2. Vērtību apgabali (svarīgi!).
• $\arcsin: [-1; 1] \to [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
• $\arccos: [-1; 1] \to [0; \pi]$
Tāpēc atbilde vienmēr ir VIENĀ noteiktā intervālā, ne neierobežotā skaitā leņķu.

3. Mūsu uzdevums. $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Jautājums: kura leņķa sinuss ir $\frac{\sqrt{2}}{2}$?

4. No pamatvērtību tabulas. $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Tāpēc $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45° = \frac{\pi}{4}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas — visi pārējie izvēles varianti ir $\arccos$ vērtības vai citu pamatleņķu radiānu mēri:
• \frac{\pi}{6} — atbilst CITAM pamatleņķim. Skolēns lasījis tabulu pa nepareizu rindu vai sajaucis $\sin/\cos$ atbilstības.
• \frac{\pi}{3} — vēl viens citu leņķu radiānu mērs. Bieži skolēns aprēķina pretējās funkcijas vērtību: $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ vietā $\arcsin$.
• \frac{\pi}{2} — šī ir sajaukšana ar robežvērtībām (0, $\frac{\pi}{2}$). Atceries — tās atbilst tikai vērtībām $0$ un $1$.

6. Pārbaude. Ievietojam: $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓

7. Bieža kļūda. Jautāt "kāds leņķis?" un atbildēt 30° vai 150° — abus, jo arī $\sin 150° = \frac{1}{2}$. Bet $\arcsin$ pēc DEFINĪCIJAS atgriež tikai $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ intervālā esošo leņķi.

Atrisinājums:
1. Apgrieztās trig. funkcijas.
• $\arcsin x$ atgriež leņķi, kura sinuss ir $x$.
• $\arccos x$ atgriež leņķi, kura kosinuss ir $x$.

2. Vērtību apgabali (svarīgi!).
• $\arcsin: [-1; 1] \to [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
• $\arccos: [-1; 1] \to [0; \pi]$
Tāpēc atbilde vienmēr ir VIENĀ noteiktā intervālā, ne neierobežotā skaitā leņķu.

3. Mūsu uzdevums. $\arcsin\left(1\right)$. Jautājums: kura leņķa sinuss ir $1$?

4. No pamatvērtību tabulas. $\sin 90° = 1$. Tāpēc $\arcsin\left(1\right) = 90° = \frac{\pi}{2}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas — visi pārējie izvēles varianti ir $\arccos$ vērtības vai citu pamatleņķu radiānu mēri:
• \frac{\pi}{6} — atbilst CITAM pamatleņķim. Skolēns lasījis tabulu pa nepareizu rindu vai sajaucis $\sin/\cos$ atbilstības.
• \frac{\pi}{4} — vēl viens citu leņķu radiānu mērs. Bieži skolēns aprēķina pretējās funkcijas vērtību: $\arccos\left(1\right)$ vietā $\arcsin$.
• \frac{\pi}{3} — šī ir sajaukšana ar robežvērtībām (0, $\frac{\pi}{2}$). Atceries — tās atbilst tikai vērtībām $0$ un $1$.

6. Pārbaude. Ievietojam: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ ✓

7. Bieža kļūda. Jautāt "kāds leņķis?" un atbildēt 30° vai 150° — abus, jo arī $\sin 150° = \frac{1}{2}$. Bet $\arcsin$ pēc DEFINĪCIJAS atgriež tikai $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ intervālā esošo leņķi.

Atrisinājums:
1. Apgrieztās trig. funkcijas.
• $\arcsin x$ atgriež leņķi, kura sinuss ir $x$.
• $\arccos x$ atgriež leņķi, kura kosinuss ir $x$.

2. Vērtību apgabali (svarīgi!).
• $\arcsin: [-1; 1] \to [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
• $\arccos: [-1; 1] \to [0; \pi]$
Tāpēc atbilde vienmēr ir VIENĀ noteiktā intervālā, ne neierobežotā skaitā leņķu.

3. Mūsu uzdevums. $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Jautājums: kura leņķa kosinuss ir $\frac{\sqrt{3}}{2}$?

4. No pamatvērtību tabulas. $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Tāpēc $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30° = \frac{\pi}{6}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas — visi pārējie izvēles varianti ir $\arcsin$ vērtības vai citu pamatleņķu radiānu mēri:
• \frac{\pi}{4} — atbilst CITAM pamatleņķim. Skolēns lasījis tabulu pa nepareizu rindu vai sajaucis $\sin/\cos$ atbilstības.
• \frac{\pi}{3} — vēl viens citu leņķu radiānu mērs. Bieži skolēns aprēķina pretējās funkcijas vērtību: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ vietā $\arccos$.
• \frac{\pi}{2} — šī ir sajaukšana ar robežvērtībām (0, $\frac{\pi}{2}$). Atceries — tās atbilst tikai vērtībām $0$ un $1$.

6. Pārbaude. Ievietojam: $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓

7. Bieža kļūda. Jautāt "kāds leņķis?" un atbildēt 30° vai 150° — abus, jo arī $\sin 150° = \frac{1}{2}$. Bet $\arcsin$ pēc DEFINĪCIJAS atgriež tikai $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ intervālā esošo leņķi.

Atrisinājums:
1. Apgrieztās trig. funkcijas.
• $\arcsin x$ atgriež leņķi, kura sinuss ir $x$.
• $\arccos x$ atgriež leņķi, kura kosinuss ir $x$.

2. Vērtību apgabali (svarīgi!).
• $\arcsin: [-1; 1] \to [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
• $\arccos: [-1; 1] \to [0; \pi]$
Tāpēc atbilde vienmēr ir VIENĀ noteiktā intervālā, ne neierobežotā skaitā leņķu.

3. Mūsu uzdevums. $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$. Jautājums: kura leņķa sinuss ir $\frac{1}{2}$?

4. No pamatvērtību tabulas. $\sin 30° = \frac{1}{2}$. Tāpēc $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30° = \frac{\pi}{6}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas — visi pārējie izvēles varianti ir $\arccos$ vērtības vai citu pamatleņķu radiānu mēri:
• \frac{\pi}{4} — atbilst CITAM pamatleņķim. Skolēns lasījis tabulu pa nepareizu rindu vai sajaucis $\sin/\cos$ atbilstības.
• \frac{\pi}{3} — vēl viens citu leņķu radiānu mērs. Bieži skolēns aprēķina pretējās funkcijas vērtību: $\arccos\left(\frac{1}{2}\right)$ vietā $\arcsin$.
• \frac{\pi}{2} — šī ir sajaukšana ar robežvērtībām (0, $\frac{\pi}{2}$). Atceries — tās atbilst tikai vērtībām $0$ un $1$.

6. Pārbaude. Ievietojam: $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ ✓

7. Bieža kļūda. Jautāt "kāds leņķis?" un atbildēt 30° vai 150° — abus, jo arī $\sin 150° = \frac{1}{2}$. Bet $\arcsin$ pēc DEFINĪCIJAS atgriež tikai $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ intervālā esošo leņķi.

Atrisinājums:
1. Apgrieztās trig. funkcijas.
• $\arcsin x$ atgriež leņķi, kura sinuss ir $x$.
• $\arccos x$ atgriež leņķi, kura kosinuss ir $x$.

2. Vērtību apgabali (svarīgi!).
• $\arcsin: [-1; 1] \to [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
• $\arccos: [-1; 1] \to [0; \pi]$
Tāpēc atbilde vienmēr ir VIENĀ noteiktā intervālā, ne neierobežotā skaitā leņķu.

3. Mūsu uzdevums. $\arccos\left(1\right)$. Jautājums: kura leņķa kosinuss ir $1$?

4. No pamatvērtību tabulas. $\cos 0° = 1$. Tāpēc $\arccos\left(1\right) = 0° = 0$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas — visi pārējie izvēles varianti ir $\arcsin$ vērtības vai citu pamatleņķu radiānu mēri:
• \frac{\pi}{6} — atbilst CITAM pamatleņķim. Skolēns lasījis tabulu pa nepareizu rindu vai sajaucis $\sin/\cos$ atbilstības.
• \frac{\pi}{4} — vēl viens citu leņķu radiānu mērs. Bieži skolēns aprēķina pretējās funkcijas vērtību: $\arcsin\left(1\right)$ vietā $\arccos$.
• \frac{\pi}{3} — šī ir sajaukšana ar robežvērtībām (0, $\frac{\pi}{2}$). Atceries — tās atbilst tikai vērtībām $0$ un $1$.

6. Pārbaude. Ievietojam: $\cos\left(0\right) = 1$ ✓

7. Bieža kļūda. Jautāt "kāds leņķis?" un atbildēt 30° vai 150° — abus, jo arī $\sin 150° = \frac{1}{2}$. Bet $\arcsin$ pēc DEFINĪCIJAS atgriež tikai $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ intervālā esošo leņķi.

Atrisinājums:
1. Apgrieztās trig. funkcijas.
• $\arcsin x$ atgriež leņķi, kura sinuss ir $x$.
• $\arccos x$ atgriež leņķi, kura kosinuss ir $x$.

2. Vērtību apgabali (svarīgi!).
• $\arcsin: [-1; 1] \to [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
• $\arccos: [-1; 1] \to [0; \pi]$
Tāpēc atbilde vienmēr ir VIENĀ noteiktā intervālā, ne neierobežotā skaitā leņķu.

3. Mūsu uzdevums. $\arccos\left(0\right)$. Jautājums: kura leņķa kosinuss ir $0$?

4. No pamatvērtību tabulas. $\cos 90° = 0$. Tāpēc $\arccos\left(0\right) = 90° = \frac{\pi}{2}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas — visi pārējie izvēles varianti ir $\arcsin$ vērtības vai citu pamatleņķu radiānu mēri:
• \frac{\pi}{6} — atbilst CITAM pamatleņķim. Skolēns lasījis tabulu pa nepareizu rindu vai sajaucis $\sin/\cos$ atbilstības.
• \frac{\pi}{4} — vēl viens citu leņķu radiānu mērs. Bieži skolēns aprēķina pretējās funkcijas vērtību: $\arcsin\left(0\right)$ vietā $\arccos$.
• \frac{\pi}{3} — šī ir sajaukšana ar robežvērtībām (0, $\frac{\pi}{2}$). Atceries — tās atbilst tikai vērtībām $0$ un $1$.

6. Pārbaude. Ievietojam: $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ ✓

7. Bieža kļūda. Jautāt "kāds leņķis?" un atbildēt 30° vai 150° — abus, jo arī $\sin 150° = \frac{1}{2}$. Bet $\arcsin$ pēc DEFINĪCIJAS atgriež tikai $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ intervālā esošo leņķi.