12. klaseAugstākā matemātika
Dalāmība un kongruences — uzdevumi ar atrisinājumiem
10 uzdevumi ar pilniem soli-pa-solim atrisinājumiem. Aplikācijā pieejami neierobežoti jauni uzdevumi ar automātisku pārbaudi.
1. uzdevums
Kāds ir atlikums, dalot $49$ ar $9$?
Pareizā atbilde: B) $4$
Atrisinājums:
Dalīšana ar atlikumu. $49 = 9 \cdot 5 + 4$.
Atlikums ir $4$ (tas ir $< 9$).
Pieraksta arī kā $49 \equiv 4 \pmod{9}$.
2. uzdevums
Atrodi skaitļu $11$ un $11$ mazāko kopīgo dalāmo (MKD).
- A) $22$
- B) $121$
- C) $11$
- D) $12$
Pareizā atbilde: C) $11$
Atrisinājums:
Formula. $\text{MKD}(a,b) = \dfrac{a \cdot b}{\gcd(a,b)}$.
$\gcd(11,11) = 11$, tātad MKD $= \dfrac{11\cdot11}{11} = 11$.
3. uzdevums
Kāds ir atlikums, dalot $48$ ar $5$?
Pareizā atbilde: A) $3$
Atrisinājums:
Dalīšana ar atlikumu. $48 = 5 \cdot 9 + 3$.
Atlikums ir $3$ (tas ir $< 5$).
Pieraksta arī kā $48 \equiv 3 \pmod{5}$.
4. uzdevums
Atrodi skaitļu $12$ un $10$ mazāko kopīgo dalāmo (MKD).
- A) $2$
- B) $72$
- C) $120$
- D) $60$
Pareizā atbilde: D) $60$
Atrisinājums:
Formula. $\text{MKD}(a,b) = \dfrac{a \cdot b}{\gcd(a,b)}$.
$\gcd(12,10) = 2$, tātad MKD $= \dfrac{12\cdot10}{2} = 60$.
5. uzdevums
Kāds ir atlikums, dalot $18$ ar $5$?
Pareizā atbilde: A) $3$
Atrisinājums:
Dalīšana ar atlikumu. $18 = 5 \cdot 3 + 3$.
Atlikums ir $3$ (tas ir $< 5$).
Pieraksta arī kā $18 \equiv 3 \pmod{5}$.
6. uzdevums
Atrodi skaitļu $36$ un $36$ lielāko kopīgo dalītāju (LKD).
- A) $72$
- B) $37$
- C) $38$
- D) $36$
Pareizā atbilde: D) $36$
Atrisinājums:
Eiklīda algoritms. LKD atrod, atkārtoti ņemot atlikumu.
$\gcd(36, 36) = 36$.
Pārbaude: $36 = 36\cdot1$, $36 = 36\cdot1$, un $\gcd(1, 1) = 1$.
7. uzdevums
Atrodi skaitļu $10$ un $10$ mazāko kopīgo dalāmo (MKD).
- A) $10$
- B) $20$
- C) $9$
- D) $100$
Pareizā atbilde: A) $10$
Atrisinājums:
Formula. $\text{MKD}(a,b) = \dfrac{a \cdot b}{\gcd(a,b)}$.
$\gcd(10,10) = 10$, tātad MKD $= \dfrac{10\cdot10}{10} = 10$.
8. uzdevums
Kāds ir atlikums, dalot $65$ ar $6$?
- A) $1$
- B) $0$
- C) $10$
- D) $5$
Pareizā atbilde: D) $5$
Atrisinājums:
Dalīšana ar atlikumu. $65 = 6 \cdot 10 + 5$.
Atlikums ir $5$ (tas ir $< 6$).
Pieraksta arī kā $65 \equiv 5 \pmod{6}$.
9. uzdevums
Atrodi skaitļu $4$ un $6$ mazāko kopīgo dalāmo (MKD).
- A) $2$
- B) $24$
- C) $12$
- D) $16$
Pareizā atbilde: C) $12$
Atrisinājums:
Formula. $\text{MKD}(a,b) = \dfrac{a \cdot b}{\gcd(a,b)}$.
$\gcd(4,6) = 2$, tātad MKD $= \dfrac{4\cdot6}{2} = 12$.
10. uzdevums
Atrodi skaitļu $12$ un $6$ lielāko kopīgo dalītāju (LKD).
- A) $5$
- B) $8$
- C) $6$
- D) $12$
Pareizā atbilde: C) $6$
Atrisinājums:
Eiklīda algoritms. LKD atrod, atkārtoti ņemot atlikumu.
$\gcd(12, 6) = 6$.
Pārbaude: $12 = 6\cdot2$, $6 = 6\cdot1$, un $\gcd(2, 1) = 1$.